(factorial 6) ч (fact-iter 116) \ (fact-iter 12 6) \ (fact iter 2 3 6) (fact-iter 6 4 6) (fact-iter 24 5 6) (fact-iter 120 6 6) (fact-iter 720 7 6)

720

Рис. 1.4: Линейно итеративный процесс для вычисления 6!.

Опять же, мы можем перестроить наше определение в процедуру вычисления факториала:29

(define (factorial n) (fact-iter 1 1 n))

(define (fact-iter product counter max-count) (if (> counter max-count) product

(fact-iter (* counter product) (+ counter 1) max-count)))

Как и раньше, мы можем с помощью подстановочной модели изобразить процесс вычисления 6!, как показано на рис.1.4.

Сравним эти два процесса. С одной стороны, они кажутся почти одинаковыми. Оба они вычисляют одну и ту же математическую функцию с одной и той же областью определения, и каждый из них для вычисления n! требует количества шагов, пропорционального n. Действительно, два этих процесса даже производят одну и ту же последовательность умножений и получают одну и ту же последовательность частичных произведений. С другой стороны, когда мы рассмотрим «формы» этих двух процессов, мы увидим, что они ведут себя совершенно по-разному.

Возьмем первый процесс. Подстановочная модель показывает сначала серию расширений, а затем сжатие, как показывает стрелка на рис.1.3. Расширение происходит по мере того, как процесс строит цепочку отложенных операций (deferred operations), в данном случае цепочку умножений. Сжатие происходит

29В настоящей программе мы, скорее всего, спрятали бы определение fact-iter с помощью блочной структуры, введенной в предыдущем разделе:

(define (factorial n)

(define (iter product counter) (if (> counter n) product

(iter (* counter product) (+ counter 1))))

(iter 11))

Здесь мы этого не сделали, чтобы как можно меньше думать о разных вещах одновременно.

тогда, когда выполняются эти отложенные операции. Такой тип процесса, который характеризуется цепочкой отложенных операций, называется рекурсивным процессом (recursive process). Выполнение этого процесса требует, чтобы интерпретатор запоминал, какие операции ему нужно выполнить впоследствии. При вычислении n! длина цепочки отложенных умножений, а следовательно, и объем информации, который требуется, чтобы ее сохранить, растет линейно с ростом n (пропорционален n), как и число шагов. Такой процесс называется линейно рекурсивным процессом (linear recursive process).

Напротив, второй процесс не растет и не сжимается. На каждом шаге при любом значении n необходимо помнить лишь текущие значения переменных product, counter и max-count. Такой процесс мы называем итеративным (iterative process). В общем случае, итеративный процесс - это такой процесс, состояние которого можно описать конечным числом переменных состояния (state variables) плюс заранее заданное правило, определяющее, как эти переменные состояния изменяются от шага к шагу, и плюс (возможно) тест на завершение, который определяет условия, при которых процесс должен закончить работу. При вычислении n! число шагов линейно растет с ростом n. Такой процесс называется линейно итеративным процессом (linear iterative process).

Можно посмотреть на различие этих двух процессов и с другой точки зрения. В итеративном случае в каждый момент переменные программы дают полное описание состояния процесса. Если мы остановим процесс между шагами, для продолжения вычислений нам будет достаточно дать интерпретатору значения трех переменных программы. С рекурсивным процессом это не так. В этом случае имеется дополнительная «спрятанная» информация, которую хранит интерпретатор и которая не содержится в переменных программы. Она указывает, «где находится» процесс в терминах цепочки отложенных операций. Чем длиннее цепочка, тем больше информации нужно хранить.30

Противопоставляя итерацию и рекурсию, нужно вести себя осторожно и не смешивать понятие рекурсивного процесса с понятием рекурсивной процедуры. Когда мы говорим, что процедура рекурсивна, мы имеем в виду факт синтаксиса: определение процедуры ссылается (прямо или косвенно) на саму эту процедуру. Когда же мы говорим о процессе, что он следует, скажем, линейно рекурсивной схеме, мы говорим о развитии процесса, а не о синтаксисе, с помощью которого написана процедура. Может показаться странным, например, высказывание «рекурсивная процедура fact-iter описывает итеративный процесс». Однако процесс действительно является итеративным: его состояние полностью описывается тремя переменными состояния, и чтобы выполнить этот процесс, интерпретатор должен хранить значение только трех переменных.

Различие между процессами и процедурами может запутывать отчасти потому, что большинство реализаций обычных языков (включая Аду, Паскаль и Си) построены так, что интерпретация любой рекурсивной процедуры поглощает объем памяти, линейно растущий пропорционально количеству вызовов процедуры, даже если описываемый ею процесс в принципе итеративен. Как следствие, эти языки способны описывать итеративные процессы только с по-

30Когда в главе 5 мы будем обсуждать реализацию процедур с помощью регистровых машин, мы увидим, что итеративный процесс можно реализовать «в аппаратуре» как машину, у которой есть только конечный набор регистров и нет никакой дополнительной памяти. Напротив, для реализации рекурсивного процесса требуется машина со вспомогательной структурой данных, называемой стек (stack).

мощью специальных «циклических конструкций» вроде do, repeat, until, for и while. Реализация Scheme, которую мы рассмотрим в главе 5, свободна от этого недостатка. Она будет выполнять итеративный процесс, используя фиксированный объем памяти, даже если он описывается рекурсивной процедурой. Такое свойство реализации языка называется поддержкой хвостовой рекурсии (tail recursion).* Если реализация языка поддерживает хвостовую рекурсию, то итерацию можно выразить с помощью обыкновенного механизма вызова функций, так что специальные циклические конструкции имеют смысл только как синтаксический сахар.31

Упражнение 1.9.

Каждая из следующих двух процедур определяет способ сложения двух положительных целых чисел с помощью процедур inc, которая добавляет к своему аргументу 1, и dec, которая отнимает от своего аргумента 1.

(define (+ a b) (if (= a 0) b

(inc (+ (dec a) b))))

(define (+ a b)

(if (= a 0) b

(+ (dec a) (inc b))))

Используя подстановочную модель, проиллюстрируйте процесс, порождаемый каждой из этих процедур, вычислив (+ 4 5). Являются ли эти процессы итеративными или рекурсивными?

Упражнение 1.10.

Следующая процедура вычисляет математическую функцию, называемую функцией Ак-кермана.

Каковы значения следующих выражений?

(A 1 10) (A 2 4)

(A 3 3)

Словарь multitran.ru дает перевод «концевая рекурсия». Наш вариант, как кажется, изящнее и сохраняет метафору, содержащуюся в англоязычном термине. - прим. перев.

31 Довольно долго считалось, что хвостовая рекурсия - особый трюк в оптимизирующих компиляторах. Ясное семантическое основание хвостовой рекурсии было найдено Карлом Хьюиттом (Hewitt 1977), который выразил ее в терминах модели вычислений с помощью «передачи сообщений» (мы рассмотрим эту модель в главе 3). Вдохновленные этим, Джеральд Джей Сассман и Гай Льюис Стил мл. (см. Steele 1975) построили интерпретатор Scheme с поддержкой хвостовой рекурсии. Позднее Стил показал, что хвостовая рекурсия является следствием естественного способа компиляции вызовов процедур (Steele 1977). Стандарт Scheme IEEE требует, чтобы все реализации Scheme поддерживали хвостовую рекурсию.