Упражнение 2.6.

Если представление пар как процедур было для Вас еще недостаточно сумасшедшим, то заметьте, что в языке, который способен манипулировать процедурами, мы можем обойтись и без чисел (по крайней мере, пока речь идет о неотрицательных числах), определив 0 и операцию прибавления 1 так:

(define zero (lambda (f) (lambda (x) x)))

(define (add-1 n)

(lambda (f) (lambda (x) (f ((n f) x)))))

Такое представление известно как числа Чёрча (Church numerals), по имени его изобретателя, Алонсо Чёрча, того самого логика, который придумал Л-исчисление.

Определите one (единицу) и two (двойку) напрямую (не через zero и add-1). (Подсказка: вычислите (add-1 zero) с помощью подстановки.) Дайте прямое определение процедуры сложения + (не в терминах повторяющегося применения add-1).

2.1.4 Расширенный пример: интервальная арифметика

Лиза П. Хакер проектирует систему, которая помогала бы в решении технических задач. Одна из возможностей, которые она хочет реализовать в своей системе, - способность работать с неточными величинами (например, измеренные параметры физических устройств), обладающими известной погрешностью, так что когда с такими приблизительными величинами производятся вычисления, результаты также представляют собой числа с известной погрешностью.

Инженеры-электрики будут с помощью Лизиной системы вычислять электрические величины. Иногда им требуется вычислить сопротивление Rp параллельного соединения двух резисторов R\ и R2 по формуле

Я1

Кр 1/Д! + 1/Д2

Обычно сопротивления резисторов известны только с некоторой точностью, которую гарантирует их производитель. Например, покупая резистор с надписью «6.8 Ом с погрешностью 10%», Вы знаете только то, что сопротивление резистора находится между 6.8 - 0.68 = 6.12 и 6.8 + 0.68 = 7.48 Ом. Так что если резистор в 6.8 Ом с погрешностью 10% подключен параллельно резистору в 4.7 Ом с погрешностью 5%, то сопротивление этой комбинации может быть примерно от 2.58 Ом (если оба резистора находятся на нижней границе интервала допустимых значений) до 2.97 Ом (если оба резистора находятся на верхней границе).

Идея Лизы состоит в том, чтобы реализовать «интервальную арифметику» как набор арифметических операций над «интервалами» (объектами, которые представляют диапазоны возможных значений неточной величины). Результатом сложения, вычитания, умножения или деления двух интервалов также будет интервал, который представляет диапазон возможных значений результата.

Лиза постулирует существование абстрактного объекта, называемого «интервал», у которого есть два конца: верхняя и нижняя границы. Кроме того, она предполагает, что имея два конца интервала, мы можем сконструировать его при помощи конструктора make-interval. Сначала Лиза пишет процедуру сложения двух интервалов. Она рассуждает так: минимальное возможное значение суммы равно сумме нижних границ интервалов, а максимальное возможное значение сумме верхних границ интервалов.

(define (add-interval x y)

(make-interval (+ (lower-bound x) (lower-bound y))

( + (upper-bound x) (upper-bound y))))

Кроме того, она вычисляет произведение двух интервалов путем нахождения минимума и максимума произведений концов интервалов и использования в качестве границ интервала-результата. (min и max - примитивы, которые находят минимум и максимум при любом количестве аргументов.)

(define (mul-interval x y)

(let ((p1 (* (lower-bound x) (lower-bound y))) (p2 (* (lower-bound x) (upper-bound y))) (p3 (* (upper-bound x) (lower-bound y))) (p4 (* (upper-bound x) (upper-bound y)))) (make-interval (min p1 p2 p3 p4)

(max p1 p2 p3 p4))))

При делении двух интервалов Лиза умножает первый из них на интервал, обратный второму. Заметим, что границами обратного интервала являются числа, обратные верхней и нижней границе исходного интервала, именно в таком порядке.

(define (div-interval x y) (mul-interval x

(make-interval (/ 1.0 (upper-bound y))

(/ 1.0 (lower-bound y)))))

Упражнение 2.7.

Программа Лизы неполна, поскольку она не определила, как реализуется абстракция интервала. Вот определение конструктора интервала:

(define (make-interval a b) (cons a b))

Завершите реализацию, определив селекторы upper-bound и lower-bound. Упражнение 2.8.

Рассуждая в духе Лизы, опишите, как можно вычислить разность двух интервалов. Напишите соответствующую процедуру вычитания, называемую sub-interval.

Упражнение 2.9.

Радиус (width) интервала определяется как половина расстояния между его верхней и нижней границами. Радиус является мерой неопределенности числа, которое обозначает интервал. Есть такие математические операции, для которых радиус результата зависит только от радиусов интервалов-аргументов, а есть такие, для которых радиус результата не является функцией радиусов аргументов. Покажите, что радиус суммы (или разности) двух интервалов зависит только от радиусов интервалов, которые складываются (или вычитаются). Приведите примеры, которые показывают, что для умножения или деления это не так.

Упражнение 2.10.

Бен Битобор, системный программист-эксперт, смотрит через плечо Лизы и замечает: неясно, что должно означать деление на интервал, пересекающий ноль. Модифицируйте

код Лизы так, чтобы программа проверяла это условие и сообщала об ошибке, если оно возникает.

Упражнение 2.11.

Проходя мимо, Бен делает туманное замечание: «Если проверять знаки концов интервалов, можно разбить mul-interval на девять случаев, из которых только в одном требуется более двух умножений». Перепишите эту процедуру в соответствии с предложением Бена.

Отладив программу, Лиза показывает ее потенциальному пользователю, а тот жалуется, что она решает не ту задачу. Ему нужна программа, которая работала бы с числами, представленными в виде срединного значения и аддитивной погрешности; например, ему хочется работать с интервалами вида 3.5 ± 0.15, а не [3.35,3.65]. Лиза возвращается к работе и исправляет этот недочет, добавив дополнительный конструктор и дополнительные селекторы:

(define (make-center-width c w) (make-interval (- c w) (+ c w)))

(define (center i)

(/ (+ (lower-bound i) (upper-bound i)) 2))

(define (width i)

(/ (- (upper-bound i) (lower-bound i)) 2))

К сожалению, большая часть Лизиных пользователей - инженеры. В реальных технических задачах речь обычно идет об измерениях с небольшой погрешностью, которая измеряется как отношение радиуса интервала к его средней точке. Инженеры обычно указывают в параметрах устройств погрешность в процентах, как в спецификациях резисторов, которые мы привели в пример выше.

Упражнение 2.12.

Определите конструктор make-center-percent, который принимает среднее значение и погрешность в процентах и выдает требуемый интервал. Нужно также определить селектор percent, который для данного интервала выдает погрешность в процентах. Селектор center остается тем же, что приведен выше.

Упражнение 2.13.

Покажите, что, если предположить, что погрешность составляет малую долю величины интервала, то погрешность в процентах произведения двух интервалов можно получить из погрешности в процентах исходных интервалов по простой приближенной формуле. Задачу можно упростить, если предположить, что все числа положительные.

После долгой работы Лиза П. Хакер сдает систему пользователям. Несколько лет спустя, ужезабыв об этом, она получает жалобу от разгневанного пользователя Дайко Поправича. Оказывается, Дайко заметил, что формулу для параллельных резисторов можно записать двумя алгебраически эквивалентными способами:

R\R2 Ri + R2