Операции высших порядков

В дополнение к абстрагированию схем комбинирования рисовалок, мы можем работать и на более высоком уровне, абстрагируя схемы комбинирования операций над рисовалками. А именно, мы можем рассматривать операции над рисовалками в качестве элементов, подлежащих манипуляции, и писать средства комбинирования этих элементов - операции, которые принимают операции над рисовалками как аргументы и создают новые операции.

Например, и flipped-pairs, и square-limit располагают определенным образом в виде квадрата четыре копии порождаемого рисовалкой изображения; они отличаются только тем, как они ориентируют эти копии. Один из способов абстрагировать такую схему комбинирования рисовалок представлен следующей процедурой, которая принимает четыре одноаргументных операции и порождает операцию над рисовалками, которая трансформирует данную ей рисовалку с помощью этих четырех операций и расставляет результаты по квадрату. Tl, tr, bl и br - это трансформации, которые следует применить к верхней левой, верхней правой, нижней левой и нижней правой копиям, соответственно.

(define (square-of-four tl tr bl br) (lambda (painter)

(let ((top (beside (tl painter) (tr painter)))

(bottom (beside (bl painter) (br painter)))) (below bottom top))))

Тогда в терминах square-of-four можно определить flipped-pairs следующим образом:24

(define (flipped-pairs painter)

(let ((combine4 (square-of-four identity flip-vert

identity flip-vert)))

(combine4 painter)))

а square-limit можно выразить как25

(define (square-limit painter n)

(let ((combine4 (square-of-four flip-horiz identity

rotate180 flip-vert))) (combine4 (corner-split painter n))))

Упражнение 2.45.

Right-split и up-split можно выразить как разновидности общей операции разделения. Определите процедуру split с таким свойством, что вычисление

(define right-split (split beside below)) (define up-split (split below beside))

порождает процедуры right-split и up-split с таким же поведением, как и определенные ранее.

24 Мы также могли бы написать

(define flipped-pairs

(square-of-four identity flip-vert identity flip-vert))

25Rotate180 поворачивает рисовалку на 180 градусов (см. упражнение 2.50). Вместо rotate180 мы могли бы сказать (compose flip-vert flip-horiz) , используя процедуру compose из упражнения 1.42.

вектор edge2

рамки

вектор edge1

рамки

вектор origin

рамки

Точка (0,0) на экране

Рис. 2.15: Рамка представляется в виде трех векторов двух краев.

начальной точки и

Рамки

Прежде, чем мы сможем показать, как реализуются рисовалки и средства их комбинирования, нам нужно рассмотреть рамки. Рамку можно описать как три вектора - вектор исходной точки и два вектора краев рамки. Вектор исходной точки Origin указывает смещение исходной точки рамки от некой абсолютной начальной точки, а векторы краев Edget и Edge2 указывают смещение углов рамки от ее исходной точки. Если края перпендикулярны, рамка будет прямоугольной. В противном случае рамка будет представлять более общий случай параллелограмма. На рис. 2.15 показаны рамка и соответствующие ей вектора. В соответствии с принципами абстракции данных, нам пока незачем указывать, каким образом представляются рамки; нужно только сказать, что есть конструктор make-frame, который принимает три вектора и выдает рамку, и что есть еще три селектора, origin-frame, edge1-frame и edge2-frame (см. упражнение 2.47).

Для определения изображений мы будем использовать координаты в единичном квадрате (0 < x,y < 1). Каждой рамке мы сопоставляем отображение координат рамки (frame coordinate map), которое будет использоваться, чтобы сдвигать и масштабировать изображения так, чтобы они умещались в рамку. Это отображение трансформирует единичный квадрат в рамку, переводя вектор v = (x,y) в сумму векторов

Origin(Frame) + x • Edgex (Frame) + y • Edge2(Frame)

Например, (0, 0) отображается в исходную точку рамки, (1, 1) в вершину, противоположную исходной точке по диагонали, а (0.5, 0.5) в центр рамки. Мы можем создать отображение координат рамки при помощи следующей процеду-ры:26

26Frame-coord-map использует векторные операции, определенные ниже в упражнении 2.46, и мы предполагаем, что они реализованы для какого-нибудь представления векторов. Благодаря абстракции данных, неважно, каково это представление; нужно только, чтобы операции над векторами вели себя правильно.

(define (frame-coord-map frame) (lambda (v) (add-vect (origin-frame frame) (add-vect (scale-vect (xcor-vect v)

(edge1-frame frame)) (scale-vect (ycor-vect v)

(edge2-frame frame))))))

Заметим, что применение frame-coord-map к рамке дает нам процедуру, которая, получая вектор, возвращает тоже вектор. Если вектор-аргумент находится в единичном квадрате, вектор-результат окажется в рамке. Например,

((frame-coord-map a-frame) (make-vect 0 0))

возвращает тот же вектор, что и

(origin-frame a-frame)

Упражнение 2.46.

Двумерный вектор v, идущий от начала координат к точке, можно представить в виде пары, состоящей из x-координаты и y-координаты. Реализуйте абстракцию данных для векторов, написав конструктор make-vect и соответствующие селекторы xcor-vect и ycor-vect. В терминах своих селекторов и конструктора реализуйте процедуры add-vect, sub-vect и scale-vect, которые выполняют операции сложения, вычитания векторов и умножения вектора на скаляр:

(Х1 ,У1) + (Х2 ,У2 ) = (Х1 + Х2 ,У1 + Jft) (Х1, yi) - (Х2, У2) = (Х1 - Х2, yi - Jft)

s • (х, y) = (sx, sy)

Упражнение 2.47.

Вот два варианта конструкторов для рамок:

(define (make-frame origin edge1 edge2) (list origin edge1 edge2))

(define (make-frame origin edge1 edge2) (cons origin (cons edge1 edge2)))

К каждому из этих конструкторов добавьте соответствующие селекторы, так, чтобы получить реализацию рамок.

Рисовалки

Рисовалка представляется в виде процедуры, которая, получая в качестве аргумента рамку, рисует определенное изображение, отмасштабированное и сдвинутое так, чтобы уместиться в эту рамку. Это означает, что если есть рисовалка p и рамка f, то мы можем получить изображение, порождаемое p, в f, позвав p с f в качестве аргумента.

Детали того, как реализуются элементарные рисовалки, зависят от конкретных характеристик графической системы и типа изображения, которое надо получить. Например, пусть у нас будет процедура draw-line, которая рисует на