Мнимые А

iA

Действительные

Рис. 2.20: Комплексные числа как точки на плоскости

«действительной» и «мнимой» (см. рис. 2.20). С этой точки зрения комплексное число z = x + iy (где i2 = -1) можно представить как точку на плоскости, действительная координата которой равна x, а мнимая у. В этом представлении сложение комплексных чисел сводится к сложению координат:

Действительная-часть! + z2) =

= Действительная-частьх) + Действительная-часть2) Мнимая-часть! + z2) = Мнимая-часть) + Мнимая-часть2)

При умножении комплексных чисел естественней думать об их представлении в полярной форме, в виде модуля и аргумента (r и A на рис. 2.20). Произведение двух комплексных чисел есть вектор, получаемый путем растягивания одного комплексного числа на модуль другого и поворота на его же аргумент:

Модуль! • z2) = Модуль!) • Модуль(z2) Аргумент(zl • z2) = Аргумент(z!) + Аргумент)

Таким образом, есть два различных представления для комплексных чисел, и каждое из них удобнее для какого-то набора операций. Однако с точки зрения человека, который пишет программу с использованием комплексных чисел, принцип абстракции данных утверждает, что все операции, работающие с комплексными числами, должны работать независимо от того, какую интерпретацию использует компьютер. Например, часто бывает нужно получить модуль комплексного числа, представленного в декартовых координатах. Подобным образом, часто полезно уметь определять действительную часть комплексного числа, представленного в полярных координатах.

При разработке такой системы мы можем следовать той самой стратегии абстракции данных, которую мы использовали в пакете работы с рациональными числами в разделе 2.1.1. Предположим, что операции над комплексными числами реализованы в терминах четырех селекторов: real-part, imag-part, magnitude и angle. Предположим еще, что у нас есть две процедуры для построения комплексных чисел: make-from-real-imag возвращает комплексное число с указанными действительной и мнимой частями, а make-from-mag-ang возвращает комплексное число с указанными модулем и аргументом.

Эти процедуры обладают такими свойствами, что для любого комплексного числа z

(make-from-real-imag (real-part z) (imag-part z))

и

(make-from-mag-ang (magnitude z) (angle z))

порождают комплексные числа, равные z.

Используя такие конструкторы и селекторы, мы можем реализовать арифметику комплексных чисел через «абстрактные данные», определяемые этими конструкторами и селекторами, в точности как мы это делали для рациональных чисел в разделе 2.1.1. Как показывают вышеуказанные формулы, можно складывать и вычитать комплексные числа в терминах действительной и мнимой части, а умножать и делить в терминах модуля и аргумента:

(define (add-complex zl z2)

(make-from-real-imag (+ (real-part zl) (real-part z2))

(+ (imag-part zl) (imag-part z2))))

(define (sub-complex zl z2)

(make-from-real-imag (- (real-part zl) (real-part z2))

(- (imag-part zl) (imag-part z2))))

(define (mul-complex zl z2)

(make-from-mag-ang (* (magnitude zl) (magnitude z2)) (+ (angle zl) (angle z2))))

(define (div-complex zl z2)

(make-from-mag-ang (/ (magnitude zl) (magnitude z2))

(- (angle zl) (angle z2))))

Для того, чтобы придать пакету работы с комплексными числами окончательный вид, нам осталось выбрать представление и реализовать конструкторы и селекторы в терминах элементарных чисел и элементарной списковой структуры. Есть два очевидных способа это сделать: можно представлять комплексное число как пару в «декартовой форме» (действительная часть, мнимая часть) либо в «полярной форме» (модуль, аргумент). Какой вариант мы выберем?

Чтобы говорить о конкретных вариантах, предположим, что двое программистов, Бен Битобор и Лиза П. Хакер, независимо друг от друга разрабатывают представления для системы, работающей с комплексными числами. Бен решает представлять комплексные числа в декартовой форме. При таком решении доступ к действительной и мнимой частям комплексного числа, а также построение его из действительной и мнимой частей реализуются прямолинейно. Чтобы найти модуль и аргумент, а также чтобы построить комплексное число с заданными модулем и аргументом, он использует тригонометрические соотношения

x = r cos A y = r sin A;

\Jx2 + у1 A = arctg(y, x)

r=

которые связывают действительную и мнимую части (x, у) с модулем и аргументом (r, A).44 Таким образом, реализация Бена определяется следующими селекторами и конструкторами:

(define (real-part z) (car z))

(define (imag-part z) (cdr z))

(define (magnitude z)

(sqrt (+ (square (real-part z)) (square (imag-part z)))))

(define (angle z)

(atan (imag-part z) (real-part z)))

(define (make-from-real-imag x y) (cons x y))

(define (make-from-mag-ang r a)

(cons (* r (cos a)) (* r (sin a))))

Напротив, Лиза решает представить комплексные числа в полярной форме. Для нее доступ к модулю и аргументу тривиален, но для получения действительной и мнимой части ей приходится использовать тригонометрические тождества. Вот представление Лизы:

(define (real-part z)

(* (magnitude z) (cos (angle z))))

(define (imag-part z)

(* (magnitude z) (sin (angle z))))

(define (magnitude z) (car z))

(define (angle z) (cdr z))

(define (make-from-real-imag x y)

(cons (sqrt (+ (square x) (square y))) (atan y x)))

(define (make-from-mag-ang r a) (cons r a))

Дисциплина абстракции данных обеспечивает то, что одни и те же реализации процедур add-complex, sub-complex, mul-complex и div-complex

будут работать как с Беновым представлением, так и с Лизиным.

2.4.2 Помеченные данные

Можно рассматривать абстракцию данных как применение принципа «наименьших обязательств». Реализуя систему обработки комплексных чисел в разделе 2.4.1, мы можем использовать либо декартово представление от Бена, либо полярное от Лизы. Барьер абстракции, который образуют селекторы и

44Функция взятия арктангенса, которая здесь используется, вычисляется процедурой Scheme atan. Она берет два аргумента y и x и возвращает угол, тангенс которого равен y/x. Знаки аргументов определяют, в каком квадранте находится угол.