Упражнение 3.26.

При поиске в таблице, как она реализована выше, приходится просматривать список записей. В сущности, это представление с неупорядоченным списком из раздела 2.3.3. Для больших таблиц может оказаться эффективнее организовать таблицу иначе. Опишите реализацию таблицы, в которой записи (ключ, значение) организованы в виде бинарного дерева, в предположении, что ключи можно каким-то образом упорядочить (например, численно или по алфавиту). (Ср. с упражнением 2.66 из главы 2.)

Упражнение 3.27.

Мемоизация (memoization) (называемая также табуляризация (tabulation)) - прием, который позволяет процедуре записывать в локальной таблице единожды вычисленные значения. Такой прием может сильно повысить производительность программы. Мемо-изированная процедура поддерживает таблицу, где сохраняются результаты предыдущих вызовов, а в качестве ключей используются аргументы, относительно которых эти результаты были получены. Когда от мемоизированной процедуры требуют вычислить значение, сначала она проверят в таблице, нет ли там уже нужного значения, и если да, то она просто возвращает это значение. Если нет, то она вычисляет значение обычным способом и заносит его в таблицу. В качестве примера мемоизации, вспомним экспоненциальный процесс вычисления чисел Фибоначчи из раздела 1.2.2:

(define (fib n) (cond ((= n 0) 0) ((= n 1) 1)

(else (+ (fib (- n l))

(fib (- n 2))))))

Мемоизированная версия той же самой процедуры выглядит так:

(define memo-fib

(memoize (lambda (n)

(cond ((= n 0) 0)

((= n 1) 1)

(else (+ (memo-fib (- n 1))

(memo-fib (- n 2))))))))

а процедура memoize определяется так: (define (memoize f)

(let ((table (make-table)))

(lambda (x)

(let ((previously-computed-result (lookup x table))) (or previously-computed-result

(let ((result (f x)))

(insert! x result table)

result))))))

Нарисуйте диаграмму окружений, анализирующую вычисление (memo-fib 3) . Объясните, почему memo-fib вычисляет n-е число Фибоначчи за число шагов, пропорциональное п. Стала бы схема работать, если бы мы определили memo-fib просто как (memoize fib) ?

3.3.4 Имитация цифровых схем

Проектирование сложных цифровых систем, таких, как компьютеры, является важной отраслью инженерной деятельности. Цифровые системы строятся

Inverter And-gateOr-gate

(инвертор) (И-элемент) (ИЛИ-элемент)

Рис. 3.24: Элементарные функциональные элементы в имитаторе цифровых схем.

путем соединения простых элементов. Хотя поведение этих составляющих элементов примитивно, сети, из них собранные, могут обладать весьма сложным поведением. Компьютерная имитация проектируемых электронных схем служит важным инструментом для инженеров-специалистов по цифровым системам. В этом разделе мы спроектируем систему для имитационного моделирования цифровых схем. Система эта будет служить примером программ особого вида, называемых имитация, управляемая событиями (event-driven simulation), в которых действия («события») вызывают другие события, которые происходят спустя некоторое время и при этом в свою очередь вызывают события, и так далее.

Наша вычислительная модель цифровой схемы будет состоять из объектов, соответствующих элементарным компонентам, из которых строится схема. Имеются провода (wires), несущие цифровые сигналы (digital signals). В каждый данный момент цифровой сигнал может иметь только одно из двух возможных значений, 0 или 1. Кроме того, имеются различные виды функциональных элементов (function boxes), которые соединяют провода, несущие входные сигналы, с выходными проводами. Такие элементы порождают выходные сигналы, вычисляя их на основе входных сигналов. Выходной сигнал задерживается на время, зависящее от типа функционального элемента. Например, инвертор (inverter) - элементарный функциональный элемент, который обращает свой входной сигнал. Если входной сигнал инвертора становится 0, то на одну ин-верторную задержку позже сигнал на выходе станет равен 1. Если входной сигнал станет 1, то на инверторную задержку позже на выходе появится 0. Инвертор символически изображен на рис. 3.24. И-элемент (and-gate), также показанный на рис. 3.24, имеет два входа и один выход. Он обеспечивает на выходе сигнал, равный логическому И (logical and) от входов. Это означает, что если оба входных сигнала становятся равными 1, то одну И-задержку спустя И-элемент заставит свой выходной сигнал стать 1; в противном случае на выходе будет 0. ИЛИ-элемент (or-gate) представляет собой подобный же элементарный функциональный элемент, который обеспечивает на выходе сигнал, равный логическому ИЛИ (logical or) своих входов. А именно, выходной сигнал станет равен 1, если хотя бы один из входных сигналов окажется 1; в противном случае на выходе будет 0.

Соединяя элементарные функции, можно получать более сложные. Для этого надо подсоединять выходы одних функциональных элементов ко входам других. Например, схема полусумматора (half-adder) на рис. 3.25 состоит из ИЛИ-элемента, двух И-элементов и инвертора. Полусумматор получает два входа, A и B, и имеет два выхода, S и C. S становится 1, когда ровно один из сигналов A и B равен 1, а C тогда, когда и A, и B равны 1. Из схемы можно видеть, что по причине задержек выходные сигналы могут генерироваться в разное время. Отсюда происходят многие сложности в проектировании цифровых схем.

A

B

Рис. 3.25: Полусумматор.

Теперь мы построим программу для имитации цифровых логических схем, которые мы хотим изучать. Программа будет строить вычислительные объекты, моделирующие провода, которые «содержат» сигналы. Функциональные элементы будут моделироваться процедурами, которые обеспечивают нужное отношение между сигналами.

Одним из базовых элементов нашей имитации будет процедура make-wire, которая порождает провода. Например, мы можем создать шесть проводов так:

(define (define (define (define (define (define

(make-wire)) (make-wire)) (make-wire)) (make-wire)) (make-wire)) (make-wire))

Мы подсоединяем функциональный элемент к проводу во время вызова процедуры, которая создает данный вид элемента. Аргументами порождающей процедуры служат провода, подсоединяемые к элементу. Например, если мы умеем создавать И-элементы, ИЛИ-элементы и инверторы, мы можем собрать полусумматор, изображенный на рисунке 3.25:

(or-gate ok

a b d)

(and-gate a b c)

ok

(inverter c e)

ok

(and-gate

ok

d e s)

Даже лучше того, можно присвоить этой операции имя, определив процедуру half-adder, конструирующую схему, используя четыре внешних провода, которые нужно подсоединить к полусумматору:

(define (half-adder a b (let ((d (make-wire)) (or-gate a b d) (and-gate a b c) (inverter c e) (and-gate d e s) ok))

s c)

(e (make-wire)))