• На протяжении этой книги мы представим последовательность усложняющихся моделей того, как работает интерпретатор, завершающуюся полным воплощением интерпретатора и компилятора в главе 5. Подстановочная модель - только первая из них, способ начать формально мыслить о моделях вычисления. Вообще, моделируя различные явления в науке и технике, мы начинаем с упрощенных, неполных моделей. Подстановочная модель в этом смысле не исключение. В частности, когда в главе 3 мы обратимся к использованию процедур с «изменяемыми данными», то мы увидим, что подстановочная модель этого не выдерживает и ее нужно заменить более сложной моделью применения процедур.15

Аппликативный и нормальный порядки вычисления

В соответствии с описанием из раздела 1.1.3, интерпретатор сначала вычисляет оператор и операнды, а затем применяет получившуюся процедуру к получившимся аргументам. Но это не единственный способ осуществлять вычисления. Другая модель вычисления не вычисляет аргументы, пока не понадобится их значение. Вместо этого она подставляет на место параметров выражения-операнды, пока не получит выражение, в котором присутствуют только элементарные операторы, и лишь затем вычисляет его. Если бы мы использовали этот метод, вычисление

(f 5)

прошло бы последовательность подстановок (sum-of-squares (+ 5 1) (* 5 2)) (+ (square (+ 5 1))(square (* 5 2)) )

(+ (* (+ 5 1) (+5 1)) (* (* 5 2) (* 5 2)))

за которыми последуют редукции

(+(* 6 6)(* 10 10))

(+36100)

136

Это дает тот же результат, что и предыдущая модель вычислений, но процесс его получения отличается. В частности, вычисление (+5 1) и (* 5 2) выполняется здесь по два раза, в соответствии с редукцией выражения

(* x x)

15Несмотря на простоту подстановочной модели, дать строгое математическое определение процессу подстановки оказывается удивительно сложно. Проблема возникает из-за возможности смешения имен, которые используются как формальные параметры процедуры, с именами (возможно, с ними совпадающими), которые используются в выражениях, к которым процедура может применяться. Имеется долгая история неверных определений подстановки (substitution) в литературе по логике и языкам программирования. Подробное обсуждение подстановки можно найти в Stoy 1977.

где x заменяется, соответственно, на (+ 5 1) и (* 5 2) .

Альтернативный метод «полная подстановка, затем редукция» известен под названием нормальный порядок вычислений (normal-order evaluation), в противоположность методу «вычисление аргументов, затем применение процедуры», которое называется аппликативным порядком вычислений (applicative-order evaluation). Можно показать, что для процедур, которые правильно моделируются с помощью подстановки (включая все процедуры из первых двух глав этой книги) и возвращают законные значения, нормальный и аппликативный порядки вычисления дают одно и то же значение. (См. упражнение 1.5, где приводится пример «незаконного» выражения, для которого нормальный и ап-пликативный порядки вычисления дают разные результаты.)

В Лиспе используется аппликативный порядок вычислений, отчасти из-за дополнительной эффективности, которую дает возможность не вычислять многократно выражения вроде приведенных выше (+ 5 1) и (* 5 2) , а отчасти, что важнее, потому что с нормальным порядком вычислений становится очень сложно обращаться, как только мы покидаем область процедур, которые можно смоделировать с помощью подстановки. С другой стороны, нормальный порядок вычислений может быть весьма ценным инструментом, и некоторые его применения мы рассмотрим в главах 3 и 4.16

1.1.6 Условные выражения и предикаты

Выразительная сила того класса процедур, которые мы уже научились определять, очень ограничена, поскольку пока что у нас нет способа производить проверки и выполнять различные операции в зависимости от результата проверки. Например, мы не способны определить процедуру, вычисляющую модуль числа, проверяя, положительное ли это число, отрицательное или ноль, и предпринимая различные действия в соответствии с правилом

{ж если ж > 0 0 если ж = 0 -x если ж < 0

Такая конструкция называется разбором случаев (case analysis). В Лиспе существует особая форма для обозначения такого разбора случаев. Она называется cond (от английского слова conditional, «условный») и используется так:

(define (abs x)

(cond ((> x 0)x)

((= x 0)0)

((< x 0)(- x))))

Общая форма условного выражения такова:

(cond ((P1) (в!)) ((p2) (в2))

((pn) (en)))

16В главе 3 мы описываем обработку потоков (stream processing), которая представляет собой способ обработки структур данных, кажущихся «бесконечными», с помощью ограниченной формы нормального порядка вычислений. В разделе 4.2 мы модифицируем интерпретатор Scheme так, что получается вариант языка с нормальным порядком вычислений.

Она состоит из символа cond, за которым следуют заключенные в скобки пары выражений ((p) (e)), называемых ветвями (clauses). В каждой из этих пар первое выражение - предикат (predicate), то есть выражение, значение которого интерпретируется как истина или ложь.17

Условные выражения вычисляются так: сначала вычисляется предикат (pj). Если его значением является ложь, вычисляется (p). Если значение (p2) также ложь, вычисляется (pg). Этот процесс продолжается до тех пор, пока не найдется предикат, значением которого будет истина, и в этом случае интерпретатор возвращает значение соответствующего выражения-следствия (consequent expression) в качестве значения всего условного выражения. Если ни один из ( p) ни окажется истинным, значение условного выражения не определено.

Словом предикат называют процедуры, которые возвращают истину или ложь, а также выражения, которые имеют значением истину или ложь. Проце-

10

дура вычисления модуля использует элементарные предикаты <, = и >.

Они принимают в качестве аргументов по два числа и, проверив, меньше ли первое из них второго, равно ему или больше, возвращают в зависимости от этого истину или ложь.

Можно написать процедуру вычисления модуля и так:

(define (abs x)

(cond ((< x 0) (- x))

(else x)))

что на русском языке можно было бы выразить следующим образом: «если x меньше нуля, вернуть -x; иначе вернуть x». Else - специальный символ, который в заключительной ветви cond можно использовать на месте (p). Это заставляет cond вернуть в качестве значения значение соответствующего (e) в случае, если все предыдущие ветви были пропущены. На самом деле, здесь на месте (p) можно было бы использовать любое выражение, которое всегда имеет значение истина.

Вот еще один способ написать процедуру вычисления модуля:

(define (abs x)

(if (< x 0) (- x) x))

Здесь употребляется особая форма if, ограниченный вид условного выражения. Его можно использовать при разборе случаев, когда есть ровно два возможных исхода. Общая форма выражения if такова:

(if (предикат) (следствие) (альтернатива))

Чтобы вычислить выражение if, интерпретатор сначала вычисляет его (предикат). Если (предикат) дает истинное значение, интерпретатор вычисляет

17«Интерпретируется как истина или ложь» означает следующее: в языке Scheme есть два выделенных значения, которые обозначаются константами #t и #f. Когда интерпретатор проверяет значение предиката, он интерпретирует #f как ложь. Любое другое значение считается истиной. (Таким образом, наличие #t логически не является необходимым, но иметь его удобно.) В этой книге мы будем использовать имена true и false, которые связаны со значениями #t и #f, соответственно.

18Еще она использует операцию «минус» -, которая, когда используется с одним операндом, как в выражении (- x), обозначает смену знака.