sum)

(define seq (stream-map accum (stream-enumerate-interval 1 20))) (define y (stream-filter even? seq))

(define z (stream-filter (lambda (x) (= (remainder x 5) 0))

seq))

(stream-ref y 7) (display-stream z)

Каково значение sum после вычисления каждого из этих выражений? Что печатается при вычислении выражений stream-ref и display-stream? Изменился бы этот результат, если бы мы реализовали (delay (выражение)) просто как (lambda () (выражение)), не применяя оптимизацию через memo-proc? Объясните свой ответ.

3.5.2 Бесконечные потоки

Мы видели, как можно поддерживать иллюзию работы с потоками как с цельными объектами, хотя на самом деле мы вычисляем только ту часть потока, к которой нам требуется доступ. Этот метод можно использовать, чтобы эффективно представлять последовательности в виде потоков, даже если эти последовательности весьма длинны. Еще удивительнее то, что при помощи потоков можно представлять последовательности бесконечной длины. Рассмотрим, например, следующее определение потока положительных целых чисел:

(define (integers-starting-from n)

(cons-stream n (integers-starting-from (+ n 1))))

(define integers (integers-starting-from 1))

Такая запись имеет смысл, потому что описывает sequence как пару, у которой car равен 1, а cdr является обещанием породить целые числа, начиная с 2. Такой поток бесконечен, но в любой данный момент мы можем работать только с конечной его частью. Таким образом, наши программы никогда не узнают, что целиком бесконечного потока не существует.

При помощи integers можно определять другие бесконечные потоки, например, поток чисел, не делящихся на 7:

(define (divisible? x y) (= (remainder x y) 0))

(define no-sevens

(stream-filter (lambda (x) (not (divisible? x 7))) integers))

Теперь мы можем искать числа, не делящиеся на 7, просто обращаясь к элементам этого потока:

(stream-ref no-sevens 100)

По аналогии с integers, можно определить бесконечный поток чисел Фибоначчи:

(define (fibgen a b)

(cons-stream a (fibgen b (+ a b))))

(define fibs (fibgen 0 l))

Fibs представляет собой пару, car которой равен 0, а cdr является обещанием вычислить (fibgen 1 1). Когда мы выполняем это задержанное (fibgen 1 1) , оно порождает пару, где car равен 1, а в cdr лежит обещание вычислить (fibgen 1 2), и так далее.

Чтобы продемонстрировать пример более интересного потока, можно обобщить no-sevens и построить бесконечный поток простых чисел, используя метод, известный как решето Эратосфена (sieve of Eratosthenes).60 Сначала мы строим поток чисел, начиная с 2, первого простого числа. Для того, чтобы найти остальные простые числа, мы фильтруем кратные двойки из потока остальных чисел. Получается поток, который начинается с 3, следующего простого числа. Теперь из остатка потока мы фильтруем числа, кратные 3. Получается поток, начинающийся с 5, следующего простого, и так далее. Другими словами, мы строим простые числа с помощью просеивающего процесса, описываемого так: чтобы просеять поток S, нужно сформировать поток, в котором первый элемент совпадает с первым элементом S, а остаток получается фильтрацией множителей первого элемента из оставшейся части S и просеивания того, что получится. Такой процесс нетрудно описать в терминах операций над потоками:

(define (sieve stream) (cons-stream (stream-car stream) (sieve (stream-filter (lambda (x)

(not (divisible? x (stream-car stream)))) (stream-cdr stream)))))

(define primes (sieve (integers-starting-from 2)))

Теперь, чтобы найти определенное простое число, надо только попросить:

(stream-ref primes 50) 233

Интересно представить себе систему обработки сигналов, соответствующую sieve, показанную на «хендерсоновской диаграмме» на рисунке 3.31.61 Входной поток попадает в «расconsер», который отделяет первый элемент потока от его хвоста. При помощи первого элемента строится фильтр на делимость, и

60Эратосфен, греческий философ третьего века до н. э. из Александрии, знаменит тем, что он дал первую верную оценку длины окружности Земли, которую он вычислил, наблюдая тени, отбрасываемые в полдень летнего солнцестояния. Метод решета Эратосфена, несмотря на свою древность, лежал в основе специальных аппаратных устройств - «решет», которые до недавних пор были самыми мощными устройствами для поиска простых чисел. Однако начиная с 70-х годов такие устройства были вытеснены развитием вероятностных методик, обсуждаемых в разделе 1.2.6.

61 Мы назвали этот способ изображения потоков в честь Питера Хендерсона, который первым показал нам диаграммы такого вида как способ рассуждений об обработке потоков. Сплошные линии представляют потоки передаваемых сигналов. Прерывистая линия от car к cons и filter указывает, что здесь передается не поток, а единичное значение.

divisible?

Рис. 3.31: Решето для поиска простых чисел в виде системы обработки сигналов.

через него пропускается остаток входного потока, а выход запускается в еще один элемент sieve. Затем исходный первый элемент сочетается при помощи cons с выходом внутреннего sieve, и получается выходной поток. Таким образом, не только входной поток бесконечен, но и обработчик сигналов также бесконечен, поскольку одно решето содержит в себе другое.

Неявное определение потоков

Потоки integers и fibs были определены при помощи «порождающих» процедур, которые явным образом вычисляют элементы потока один за другим. Однако можно определять потоки неявно, пользуясь задержанным вычислением. Например, следующее выражение определяет ones как бесконечный поток, состоящий из одних единиц:

(define ones (cons-stream 1 ones))

Это выражение работает примерно так же, как рекурсивная процедура: ones является парой, чей car есть 1, а cdr представляет собой обещание вычислить ones. Обращение к cdr дает нам снова 1 и обещание вычислить ones, и так далее.

Можно делать и более интересные вещи с помощью операций вроде add-streams, которая порождает поэлементную сумму двух данных потоков:62

(define (add-streams s1 s2) (stream-map + s1 s2))

Теперь можно определить поток целых чисел следующим образом:

(define integers (cons-stream 1 (add-streams ones integers)))

Здесь integers определяются как поток, в котором первый элемент 1, а остаток равен сумме ones и integers. Таким образом, второй элемент integers равен 1 плюс первый элемент integers, то есть 2; третий элемент равен 1 плюс второй элемент integers, то есть 3, и так далее. Это определение работает потому, что в любой момент сгенерировано достаточно элементов потока integers , чтобы мы могли обратиться к ним в определении и породить следующий элемент.

В том же стиле можно определить числа Фибоначчи:

62Здесь используется обобщенная версия stream-map из упражнения 3.50.