Институт проблем информатики Академии наук Республики Татарстан

Казанский государственный технологический

университет

И.З. Батыршин

ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ

Казань Отечество 2001

ББК 22.12 УДК 510 Б28

Печатается по постановлению Ученого совета Института проблем информатики Академии наук Республики Татарстан и по решению Ученого Совета Казанского государственного технологического университета

Рецензент: д.ф.м.н., проф. В.Д. Соловьев

И.З. Батыршин. Основные операции нечеткой логики и их обобщения. - Казань: Отечество, 2001. - 100 с., ил.

В книге рассматриваются свойства операций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания нечеткой логики и определяемых ими операций пересечения, объединения и дополнения нечетких множеств. В первой главе рассматриваются классические операции нечеткой логики, введенные Заде, и исследуются свойства алгебры Клини. Во второй главе изучаются инволютивные и неинволютивные операции отрицания и методы их генерации. В третьей главе даются основные сведения о t-нормах и t-конормах, обсуждаются методы генерации параметрических классов неассоциативных операций конъюнкции и дизъюнкции и примеры применения этих операций в задачах нечеткого моделирования.

Предназначено для студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в области мягких вычислений и разработки интеллектуальных информационных систем.

Издание работы осуществлено при финансовой поддержке Фонда НИОКР и Академии наук Республики Татарстан в рамках Программы развития приоритетных направлений науки в РТ.

ISBN 5-9222-0034-8

ВВЕДЕНИЕ

Термин "нечеткая логика" используется обычно в двух различных смыслах. В узком смысле, нечеткая логика это логическое исчисление, являющееся расширением многозначной логики. В ее широком смысле, который сегодня является преобладающим в использовании, нечеткая логика равнозначна теории нечетких множеств. С этой точки зрения нечеткая логика в ее узком смысле является разделом нечеткой логики в ее широком смысле [26].

В работе обсуждаются различные подходы к определению основных операций нечеткой логики, под которыми понимаются операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, определенные на множестве значений принадлежности, истинности, правдоподобности, а также определяемые ими операции пересечения, объединения и дополнения нечетких множеств. В нечеткой логике терминологическое отличие между операциями над значениями принадлежности и операциями над нечеткими множествами в определенной мере стирается, поскольку операции над нечеткими множествами определяются поэлементно с помощью операций над степенями принадлежности, а лингвистические связки могут интерпретироваться и как операции над значениями принадлежности и как операции над нечеткими множествами. Например, в нечетких моделях в правилах типа «Если ТЕМПЕРАТУРА МАЛАЯ и ДАВЛЕНИЕ ВЫСОКОЕ то ПЛОТНОСТЬ СРЕДНЯЯ» лингвистическая связка «и» может интерпретироваться как конъюнкция значений истинности нечетких предикатов МАЛАЯ(t) и ВЫСОКОЕ(d) при определенных значениях термов t и d. Эта связка может также интерпретироваться и как операция пересечения нечетких (цилиндрических) отношений, определяемых нечеткими множествами МАЛАЯ и ВЫСОКОЕ в декартовом произведении множеств значений температур и давлений. Более обще, связка «и» может интерпретироваться в задачах нечеткого моделирования как некоторая функция над значениями принадлежности МАЛАЯ(t) и ВЫСОКОЕ(d) конкретных числовых значений температуры и давления нечетким множествам МАЛАЯ и ВЫСОКОЕ. Естественно, что в каждом случае определение конкретных операций должно быть четко определено.

Рассматриваемые в работе операции являются основными операциями нечеткой логики в том смысле, что все конструкции нечеткой логики основываются на операциях конъюнкции, дизъюнкции и отрицания или на определяемых ими операциях над нечеткими множествами. В настоящее время в нечеткой логике в качестве операций конъюнкции и дизъюнкции широко используются t-нормы и t-конормы, пришедшие в нечеткую логику из теории вероятностных метрических пространств. Эти операции достаточно хорошо изучены и лежат в основе многих формальных