генерируемое генератором f(x) = xp. Фиксированная точка отрицания Ягера равна s = p0.5 .

Графики отрицаний Сугено и Ягера для разных значений параметра p приведены на рис. 4, где приведен также график функции y = x.

Рассматриваемые ниже методы генерации инволютивных отрицаний используют свойство инволюций n(x) = n-1(x), которое определяет симметрию графика инволютивного отрицания относительно прямой y= x. Эти методы будут в следующем разделе использоваться при характеризации сжимающих и разжимающих отрицаний на [0,1]. Эти методы представляют также самостоятельный интерес при построении инволютивных отрицаний в задачах нечеткого моделирования.

Пусть f - произвольное монотонное биективное отображение [0,1] на [0,1]. Введем обозначения

f-](x) = minf(x), f -l(x)}, f[+](x) = maxf(x), f ~l(x)}.

Отметим следующие свойства введенных функций.

1) Если f - автоморфизм интервала [0,1], то f] и f[+] также являются автоморфизмами интервала [0,1], причем, f[-]-1 = f[+], f[+]-1 = f[-] и для всех xe[0,1] выполняется

f[-](x) < x < f[+] .

2) Если n - инволюция, то

n[-] = n[+] = n .

Предложение 2.7. Если n - биективное отрицание, то функции n[-] и n[+] являются инволюциями.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения n[-] и n[+] следует, что они являются биективными отрицаниями. Имеем

n[-]( x)

n[+]( x)

n(x),если n(x) < n 1(x)

n (x),если n (x) < n(x)

\/ n -1, \(18)

n ( x),если n(x) < n (x)

n(x),если n-1(x) < n(x)

Покажем, что n[-] является инволюцией. Если n(x) < nl(x), то n.](x) = n(x). Обозначим y = n(x). Тогда n(y)= n(n(x)) >n(nl(x))= x= nl(n(x))= nl(y).

Предложение 2.9. Пусть n - биективное отрицание, и s фиксированная точка. Тогда функции

его

x)

n2( x)

n(x),если x < s

n (x),если s < x

n 1(x),если x < s

n(x),если s < x

(21)

(22)

являются инволютивными отрицаниями.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из построения n1 и n2 следует, что они являются биективными отрицаниями с фиксированной точкой s. Если x< s, то n(x) > n(s) = s и n1(n1(x)) = n1(n(x)) = nl(n(x)) = x. Если x > s, то n ~l(x) < nl(s)= s и n1(n1(x))= n1(n ~l(x))= = n(n ~l(x))= x. Аналогично доказывается инволютивность n2.

Заметим, что соотношения (18) и (21), (22) в общем случае определяют разные отрицания. Однако, если n(x) < nl(x) для всех x< s, либо n ~l(x)< n(x) для всех x < s, то определяемые (18) и (21), (22) пары отрицаний { n1, n2} совпадают.

Примером отрицаний, построенных по правилам (19), (20) с генератором f(x) = xp, являются отрицания:

Из n(y)> пл(у) следует nH (y)= пл(у) и n[.](n[.] (x))= n[.](n(x))= n[.](y)= rfl(y) = n ~l(n(x))=x. Аналогично, из nl(x)<n(x), выводится n/n] (x))= x.

Доказательство инволютивности n[+] проводится аналогично.

Теорема 2.8. Функции nbn2:[0,1]-»[0,1] являются инволюциями тогда и только тогда, когда существует автоморфизм f интервала [0,1] такой, что

ni(x) = (1 - f)[.](x),(19)

n2(x) = (1 - f)[+](x).(20)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть n - инволюция. Тогда f(x) = 1 - n(x) является автоморфизмом интервала [0,1] таким, что (1 - f)\-\(x) = nx) = n(x) и (1- f)[+](x) = n[+](x) = n(x).

Пусть f - автоморфизм интервала [0,1]. Тогда n(x) = 1- f(x) является биективным отрицанием и из предложения 2.7 следует справедливость теоремы.

Учитывая, что (1- f(x))- = f x), представим (19), (20) также в виде:

n1(x) = min{1 - f(x), f x)}, n2(x) =max{1 - f(x), fl(1-x)}.

n\( x) = minf 1 - xp,p 1 - x

n 2( x) = maxl - xp,p 1 - x

Графики этих отрицаний для разных значений параметров p приводятся на рис. 5.

n= min, p= 0.5, 1, 5

n= max, p= 0.5, 1, 5

1

0.8 0.6 0.4 0.2

0.5

1

0.8 0.6

0.4 0.2

0.5

а)б)

Рис. 5. Графики инволютивных отрицаний с генератором f(x) = xp: а) формула (19), p= 0.5, 1, 5; б) формула (20), p= 0.5, 1, 5.

0

0

0

1

0

1

С практической точки зрения может возникнуть задача построения инволютивного отрицания с заданной фиксированной точкой s. Решение этой задачи может быть основано на следующей теореме.

Теорема 2.10. Функция n:[0,1]-»[0,1] является инволюцией с фиксированной точкой se(0,1) тогда и только тогда, когда существует автоморфизм f интервала [0,1] такой, что

n( x)

1 - (1 - s) f Г1 - x

x

V s J

sf

1

1-sJ

если x < s

если s < x

(23)

V

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f - автоморфизм и n определяется по (23). Монотонное убывание n и выполнение условий n(0) = 1, n(1) = 0, n(s)= s, очевидно. Обозначим g1(x) = 1- (1- s)fx/s), g2(x) = sf1-x)/(1-s)), тогда g2(x) = g{l(x). Доказательство инволютивности n аналогично доказательству инволютивности отрицания в предложении 2.9.

Пусть n - инволюция с фиксированной точкой s. Тогда функция f(x)= (1-n(xs))/(1-s) биективная, строго возрастающая и f(0)=0, f(1)=1. f 1(x)= n(1- (1- s)x)/s. Если x < s, то (23) определяет n(x): 1- (1- s)fx/s) = 1- (1- s)(1-