правил. В качестве операции конъюнкции AND применяется /-норма TM(u,v)= min(u,v). Поверхность функции z = f(x,y), определенной этой моделью Сугено, показана на рис. 21.

surface ot initial model

Рис. 21. Поверхность исходной модели

Эта функция аппроксимировалась такой же нечеткой моделью Сугено, в которой трапециевидные функции принадлежности были заменены треугольными функциями принадлежности (рис. 22), а операция min заменена параметрической операцией T(u,v) = min(u,v) (up+vq- up-v4).

151-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1

Рис. 22. Функции принадлежности нечетких множеств аппроксимирующей нечеткой модели Сугено

Оптимизация проводилась по четырем параметрам ps, pL, qs, qL, применявшимся для модификации значений принадлежности x к нечетким множествам S и L, и y к нечетким множествам S и L соответственно. Например, сила срабатывания второго правила вычислялась так:

w = T(MS(x),ML(y)) =

min(Ms(x),ML(y))-(Ms(x)Ps +<UL(y)4L - Ms(x)Ps L(y)4L).

Значения оптимальных параметров p и q были получены как результат минимизации среднеквадратичной ошибки между графиком исходной функции и графиком аппроксимирующей нечеткой модели. По каждой шкале использовалась сетка из 50 точек, в результате 2500 точек исходного графика использовались для аппроксимации. Были получены следующие оптимальные значения параметров: pS = 6.45, pL = 6.45, qS = 5.89, qL = 5.89. Поверхность полученной аппроксимирующей нечеткой модели показана на рис. 23.

surface of final model

Рис. 23. Поверхность аппроксимирующей модели Сугено

Из сравнения рис. 21 и 23 видно, что полученная в результате оптимизации параметров операций нечеткая модель Сугено достаточно хорошо аппроксимирует исходную функцию. Оптимизация параметров операций нечетких моделей может использоваться при моделировании данных вместо или в дополнение к традиционно применяемой оптимизации параметров нечетких множеств, используемых в модели. В следующих разделах рассматриваются другие примеры оптимизации нечетких моделей по параметрам операций.

7. G-конъюнкции и G- дизъюнкции

Определение 7.1. Операциями G-конъюнкции T и G-дизъюнкции S называются функции T,S:[0,l]x[0,l][0,l] такие, что для всех x,ye[0,1] выполняются следующие свойства:

T(0,0) = T(0,1) = T(1,0) = 0,T(1,1) = 1,(24)

S(0,0) = 0,S(0,1) = S(1,0) = S(1,1) = 1,(25)

T(x,y) < T(u,v) и S(x,y) < S(u,v), если x < u, y < v.(26)

Нетрудно увидеть, что G-конъюнкция T и G-дизъюнкция S являются соответственно псевдоконъюнкцией и псевдодизъюнкцией, т.е. для всех x,ye [0,1] выполняются следующие свойства:

T(x,0) = T(0,x) = 0,S(x,1) = S(1,x) = 1.(27)

Предложение 7.2. Пусть n - отрицание, T - некоторая G-конъюнкция и S - некоторая G-дизъюнкция, тогда соотношения

ST(x,y) = n(T(n(x), n(y))),TS(x,y) = n(S(n(x), n(y)))

определяют, соответственно, G-дизъюнкцию ST и G-конъюнкцию TS.

Д о к а з а т е л ь с т в о. sT(0,0) = n(T(n(0),n(0))) =n(T(1,1)) = n(1) = 0. ST(x, 1) = n(T(n(x), n(1))) = n(T(n(x),0)) =n(0) = 1. Аналогично получим ST(1,x) =1. Монотонность ST следует из монотонности T и N.

Доказательство для TS проводится аналогично.

Если n инволютивное отрицание, то для любой G-конъюнкции T и дизъюнкции S = ST (для любой S и T=TS ) выполняются законы Де Моргана:

n(S(x,y)) = T(n(x), n(y)),n(T(x,y)) = S(n(x), n(y)).

Для новых операций ограничения (12) уже не выполняются.

Теорема 7.3. Пусть T есть G-конъюнкция, S есть G-дизъюнкция и /,g,h:[0,1]-[0,1] - неубывающие функции, такие что f(0) = g(0) = h(0) = 0, /(1)= g(1) = = 1, тогда следующие выражения

T1(x,y) = AT(g(x),h(y))), S1(x,y) = AS(g(x),h(y))),

определяют G-конъюнкцию и G-дизъюнкцию соответственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. T(0,y) = fT1(g(0),h(y))) = XT1(0,h(y))) = Д0) = 0. Аналогично, T(y,0) = 0. 7(1,1) = Дад1)Д1))) = ./((1,1)) = Д1) = 1.