D

z>(3)

/ о

оо оо 2

оо

/ о

оо оо 2

У оо

/ о

оо оо 2

оо

/ о

оо оо

3 О

4 оо

£>(4)

D)

2

оо

/О

3 7 2

V8 /О

3 7 2

V8

3 О

4 -1 оо 3 О 4

-1 5 1 О

4

8

оо О

-5

оо оо

8

оо О

-5

оо оо

8

оо О

-5

оо оо 8

оо О

оо

1

оо О 6

оо

1

оо О 6 4 1 5 О 6 4 1 5

-4\

-5 О

оо -1 -4

О

-5 О 1 6

32

41

)5

1 -5О

5 16

7

оо оо О

-4\

7

оо -2

О ) -4\

7 11 -2

О / -4\

7 11 -2

О / -4\

-1

3

-2

О ) -4\

-1 3

-2 О /

П(°)

П(2)

П(з)

ДМ

п(5)

/ NIL NIL NIL

4 NIL / NIL NIL NIL

4 NIL / NIL NIL NIL 4

У NIL / NIL NIL NIL

4 NIL / NIL

4 4 4 4

/ NIL

4 4 4

V 4

1

NIL

3

NIL NIL

1 NIL

3

1

NIL

1 NIL

3

1

NIL

1 NIL

3 3

NIL

1 NIL

3 3 3 3

NIL

3 3 3

1

NIL NIL

4 NIL

1 NIL NIL

4 NIL

1 NIL NIL

4 NIL

1 NIL NIL

4 NIL

4

4

NIL

4

4 4 4

NIL

4

4

2 2 2

NIL 5

2 2 2

NIL 5

2 2 2

NIL 5

5 2 2

NIL 5

NIL1 \

22

NILNIL

NILNIL

5NIL

NIL1 \

22

NILNIL

NIL1

5NIL

1 \

2 2 1

NIL ) 1 \

2 2 1

NIL

1 \

1

1 1

NIL

1 \

1 1 1

NIL )

J

Рис. 26.3 26.4 Матрицы U(k) и D(k), вычисляемые алгоритмом Флойда-Уоршолла для графа рис. 26.1.

Алгоритм Флойда-Уоршолла содержит три вложенных цикла (строки 3-6); время его работы есть в (га3). Константа, скрытая в О-обозначении, невелика, поскольку алгоритм прост и не использует сложных структур данных, так что он применим для достаточно больших графов.

Построение кратчайших путей

Помимо весов кратчайших путей, нас интересуют и сами пути. Один из способов их построения таков: вычислиы вычислении матрицу D их весов, можно затем построить по ней матрицу предшествования П за время 0(га3) времени (упр. 26.1-5). Затем при помощи функции Print-All-Pairs-Shortest-Path можно напечатать кратчайший путь для любой пары вершин.

Другой способ состоит в том, чтобы вычислять матрицу предшествования параллельно с исполнением алгоритма Флойда-Уоршолла. При этом мы вычисляем последовательность матриц П(°), nW,... , П(п), где П = П(п), а 7г определяется как вершина, предшествующая вершине j на кратчайшем пути из вершины г в вершину j с промежуточными вершинами из множества {1,2,..., к}.

(к)

Напишем рекурентную формулу для 7гг-- . Если к = 0, то промежуточных вершин нет, поэтому

(о) f nil если i = j или гиг-,- = оо,,п„ гЛ

тт-/ = < .. , .J(26.6)

%J у i если г ф j и Wij < оо.v

Пусть теперь к 1. Если кратчайший пути из г в j проходит через вершину /г, то предпоследней его вершиной будет та же самая вершина, которая будет предпоследней на кратчайшем пути из к в j с промежуточными вершинами из множества {1, 2,... , к - 1}. Если же путь не проходит через к, то он совпадает с кратчайшим путем из г в j с промежуточными вершинами из множества {1, 2,... , к - 1}. Таким образом,

если а-- < а-, + а) ,

ij гк1 kj (<у(> 7\

Лк-l) Jk-1) . Ак-1)

если а-- > а-, + а, • .

tjгк1 к]

Вычисления по этим формулам легко добавить к алгоритму Флойда-Уоршолла (упр. 26.2-3). На рис. 26.4 показана последовательность матриц Т[(к\ получающаяся в процессе вычислений. В том же упражнении предлагается доказать, что подграф предшествования GVti является деревом кратчайших путей из вершины г. Другой способ построения кратчайших путей указан в упр. 26.2-6. Транзитивное замыкание ориентированного графа Задача о транзитивном замыкании состоит в следующем. Дан ориентированный граф G = (V, Е) с вершинами 1,2,... , га. Требуется определить для любой пары его вершин i,j £ V, существует

ли в графе путь из вершины г в вершину j. Транзитивным замыканием ориентированного графа G называется граф G* = (V,E*), где

Е* = в графе G существует путь из г в j}.

Транзитивное замыкание графа можно вычислить за время ©(га3) при помощи алгоритма Флойда-Уоршолла, считая, что все рёбра графа имеют вес 1: если существует путь из вершины г в вершину j, то dij будет меньеш га, в противном случае dij = оо.

На практике более выгодно (в смысле времени и памяти) пользоваться несколько другим способом вычисления транзитивного замыкания за время в (га3). Заменим в алгоритме Флойда-Уоршолла арифметические операции min и + на логические операции V и Л.

(к)

Другими словами, положим t- равным 1, если в графе G существует путь из г в j с промежуточными вершинами из множества {1,2,... , к}, и равным 0, если такого пути нет. Ребро (г, j) принадлежит транзитивному замыканию G* тогда и только тогда, когда = 1. По аналогии с формулой (26.5) напишем соотношения для

М.

t(°) = / 0 еСЛИ i J И Ei

%з у 1 если г = j илиG Е,

и (при к 1)

4f =*?-1)V(4*"1)Atg"1))-(26-8)

Основанный на этом соотношении алгоритм последовательно вычисляет матрицы T(fc) = (t) для к = 1, 2,... , га:

{\sc Transitive-Clusure}$(G)$\\ $n \leftarrow V[G]$\\ I for $i\leftarrow 1$ to $n$\\

I do for $j\leftarrow 1$ to $n$\\

do if $i=j$ or $(i,j)\in E[G]$\\

I then $t~{(0)} {ij} \leftarrow 1$\\ I else $t~{(0)} {ij} \leftarrow 0$\\ r $k\leftarrow 1$ to $n$\\ I do for $i\leftarrow 1$ to $n$\\

I do for $j\leftarrow 1$ to $n$\\

do $t~{(k)} {ij}\leftarrow t~{(k-l)} {ij}\vee (t~{(k-l)} {ik}\wedge t4(k-l)> {kj»$\\ \verbll return $T~{(n)}$

На рис. 26.5 приведён пример графа и матриц Тк\ вычисленных процедурой Transitive-Clusure.

Время работы процедуры Transitive-Clusure составляет О (га3), как и у алгоритма Флойда-Уоршолла. Однако на многих компьютерах логические операции выполняются быстрее, чем