которого ведёт ненасыщенная труба - другими словами, мы поднимаем и ровно настолько, чтобы появилась ненасыщенная труба, ведущая вниз.

В конце концов мы добьёмся того, что в сток приходит максимально возможное количество жидкости (для данных пропускных способностей труб). При этом предпоток может ещё не быть потоком (избыток жидкости сливается). Продолжая подъём вершин (которые могут стать выше истока), мы постепенно отправим избыток обратно в исток (что означает сокращение потока жидкости от истока) - и превратим предпоток в поток (который окажется максимальным).

Основные операции

Итак, алгоритм проталкивания предпотока использует две основные операции: проталкивание потока из вершины в соседнюю и подъём вершины. Дадим точные определения.

Пусть G = (V, Е) - сеть с истоком s и стоком t, а / - предпоток в G. Функция h : V -> N называется высотной функцией (height function) для предпотока /, если h(s) = \V\, h(t) = 0 и

h(u) h(v) + 1

для любого остаточного ребра (и, v) £ Ef. Следующая лемма даёт очевидную переформулировку этого условия: Лемма 27.13

Пусть / - предпоток в сети G = (V, Е) и h - высотная функция. Тогда если для вершин и, v £ V, выполнено h(u) > h(v) + 1, то остаточная сеть не содержит ребра (и, v) («по круто идущим вниз трубам идёт максимально возможный поток».)

Теперь определим основные операции.

Процедура Push (и, v) применима, если вершина и переполнена (то есть Cf(u, v) > 0) и если h(u) = h(v) + 1. При этом поток из вершины и в её соседа v растёт - его увеличение ограничено избытком жидкости вии остаточной пропускной способностью ребра (u,v).

\textsc{Push>($u,v$)

1$\triangleright$ дано: вершина $u$ переполнена,

$c f(u,v)>0$ и $h(u)=h(v)+l$.

2$\triangleright$ надо: протолкнуть

$d f(u,v)=\min(e[u],c f(u,v)$ единиц потока из $u$ в $v$

3$d f(u,v)\leftarrow\min(e[u],c f(u,v)$

4$f[u,v]\leftarrow f[u,v]+d f(u,v)$

5$f[v,u]\leftarrow -f[u,v]$

6$e[u]\leftarrow e[u]-d f(u,v)$

7$e[v]\leftarrow e[v]+d f(u,v)$

Мы предполагаем, что избыток в вершине равен е[и] > 0, и что остаточная пропускная способность ребра (и, v) также положи-

тельна. Поэтому мы можем направить тт(е[и], Cf(u, v)) > 0 единиц потока из и в v (мы вычисляем эту величину в строке 3), не превысив пропускной способности и не сделав избыток отрицательным. Следовательно, если функция / останется предпотоком (если он им была). Мы изменяем / в строках 4-5 и е в строках 6-7.

Условие h(u) = h(v) + 1 гарантирует, что мы направляем дополнительный поток лишь по рёбрам, идущим вниз с единичной разницей высот. Впрочем, более крутые рёбра уже насыщены и так (лемма 27.13)

Операция Push называется проталкиванием из вершины и в вершину v (применённым к вершине и). Проталкивание называется насыщающим (saturating), если в результате ребро (и, v) становится насыщенным (saturated), то есть если Cf(u,v) обращается в нуль (ребро исчезает из остаточной сети); в противном случае проталкивание считают ненасыщающим (nonsaturating).

Процедура Lift (и) поднимает переполненную вершину и на максимальную высоту, которая допустима по определению высотной функции. Посмотрим на соотношение высот вершины и её соседей в остаточной сети. По определению высотной функции высота вершины превосходит высоту соседа в остаточной сети не более чем на 1. Если есть сосед, который на единицу ниже, то можно выполнить проталкивание (но нельзя выполнить подъём). Если все соседи не ниже, то проталкивание выполнить нельзя, а подъём - можно, после чего возможно проталкивание. Вот как выглядит процедура подъёма (lifting):

\textsc{Lift}($u$)

1$\triangleright$ дано: вершина $u$ переполнена; для любого

ребра $(u,v)\in E f$ выполнено неравенство $h(u)\le h(v)$.

2$\triangleright$ надо: увеличить $h[u]$, подготовляя проталкивание

из вершины $и$

3$h[u]\leftarrow l+\min\{h[v]I(u,v)\ in E f\}$

Заметим, что если вершина и переполнена, то в Ef найдётся по крайней мере одно ребро, выходящее из и (минимум в строке 3 берётся по непустому множеству). Чтобы доказать это, вспомним, что f[V, и] = е[и] > 0, поэтому существует по крайней мере одна такая вершина v, для которой f(v, и) > 0. Получаем

С/(и, v) = с(и, v) - f[u, v] = с(и, v) + f[v, и] > 0,

а это означает, что (и, v) £ Ef. (Если в вершине жидкость выливается, то она откуда-то приходит, и есть резерв, состоящий в уменьшении этого прихода.) Общая схема алгоритма

Алгоритм начинается с вызова Initialize-Preflow, задающего

начальный предпоток:

f[u,v]={

с(и, v) если и = s, c(v, и) если v = s,

О в остальных случаях.

(27.9)

\textsc{Initialize-Preflow}($G,s$)

1for (для) каждой вершины $u\in V[G]$

2do $h[u]\leftarrow 0$

$e[u]\leftarrow 0$

4for (для) каждого ребра $(u,v)\in E[G]$

5do $f[u,v]\leftarrow 0$

6$f[v,u]\leftarrow 0$

7$h[s]\leftarrow V[G]$

8for (для) каждой вершины $u\in Adj[s]$

9do $f[s,u]\leftarrow c(s,u)$

10$f[u,s]\leftarrow -c(s,u)$

11$e[u]\leftarrow c(s,u)$

В массиве h хранятся высоты, в массиве е - избытки, с(и, v) - пропускные способности (считаем, что они заданы так, что вычисление с(и, v) требует времени 0(1)). Поток записывается в массив

Поток по каждому ребру, выходящему из истока s, становится равным пропускной способности этого ребра. По остальным рёбрам поток равен 0. В каждой смежной с истоком вершине v появляется избыток e[v] = c(s, v). Начальная высота задается формулой

Это действительно высотная функция, так как рёбра (и, v), для которых h[u] > h[v] + 1, выходят только из истока (и = s), но эти рёбра насыщены и их нет в остаточной сети.

Программа Generic-Preflow-Push даёт общую схему алгоритма, основанного на проталкивании предпотока.

\textsc{Generic-Preflow-Push}

1\textsc{Initialize-Preflow}

2while (пока) возможны операции подъ\"~~а5ма или проталкивания

3do выполнить одну из этих операций

Следующая лемма показывает, что пока есть хоть одна переполненная вершина, какая-то из операций подъёма или проталкивания возможна.

О, в противном случае.