|
||||
Меню:
Главная
Форум
Литература: Программирование и ремонт Импульсные блоки питания Неисправности и замена Радиоэлектронная аппаратура Микросхема в ТА Рубрикатор ТА Кабельные линии Обмотки и изоляция Радиоаппаратура Гибкие диски часть 2 часть 3 часть 4 часть 5 Ремонт компьютера часть 2 Аналитика: Монтаж Справочник Электроника Мощные высокочастотные транзисторы 200 микросхем Полупроводники ч.1 Часть 2 Алгоритмические проблемы 500 микросхем 500 микросхем Сортировка и поиск Монады Передача сигнала Электроника Прием сигнала Телевидиние Проектирование Эвм Оптимизация Автомобильная электроника Поляковтрансиверы Форт Тензодатчик Силовые полевые транзисторы Распределение частот Резисторные и термопарные Оберон Открытые системы шифрования Удк |
[19] Рис. 4.3 Дерево рекурсии для соотношения Т(п) = аТ(п/Ь) + f(n) является полным а-ичным деревом высоты logb п с nloSi,°. Сумма весов по уровням показана справа, а общая сумма даётся формулой (4.6). Доказательство. Последовательно подставляя соотношение само в себя, получаем Т(п) : /(га) + аТ(п/Ь) : /(га) + af(n/b) + a2T(n/b2) : /(га) + af(n/b) + a2f(n/b2) + + а lon-lf{n/b lo&n-1) +а1о§ьПГ(1). logb га ralogba, последний член может быть записан как O(ralogba). Оставшиеся члены образуют сумму, фигурирующую в утверждении леммы.□ Поскольку a gb Дерево рекурсии Доказательство леммы 4.2 можно пояснить в терминах дерева рекурсии (рис. 4.3), если число а целое (хотя само доказательство этого не требует). В корне стоит число /(га), в каждом из а его детей стоит число /(га/6), в каждом из а2 внуков стоит /(га/62) и т. д. На уровне j имеется а3 вершин; вес каждой - f(n/b3). Листья находятся на расстоянии logfe га от корня, и имеют положительный вес Г(1); всего на дереве alogbn = ralogba листьев. Равенство (4.6) получается, если сложить веса на всех уровнях: общий вес на j-m уровне есть a3 f(n/b3), а общий вес внутренней части дерева есть logbn-l 3=0 Если рекуррентное соотношение произошло из алгоритма типа «разделяй и властвуй», эта сумма отражает стоимость разбиения задачи на подзадачи и объединения решений. Суммарный вес всех листьев есть стоимость решения всех ralogi>a задач размера 1, которая составляет O(ralogi>a). В терминах дерева рекурсии легко объяснить, чему соответствуют три случая в формулировке основной теоремы. В первом случае основная часть веса сосредоточена в листьях, в третьем - в корне, во втором вес равномерно распределён по уровням дерева. Теперь оценим величину суммы в формуле (4.6). Лемма 4.3. Пусть а 1, 6 > 1 - константы, /(га) - неотрицательная функция, определённая на натуральных степенях Ь. Рассмотрим функцию д(п), определённую формулой logbn-l g(n)="4{n/V)(4.7) (для n, являющихся степенями Ь). Тогда 1.Если /(га) = O(ralogba e) для некоторой константы е > 0, то д[п) = O(ralogba). 2.Если /(га) = 6(га1о§ьа), то д(п) = в(га1о§ьа lg га). 3.Если af (га/6) с/(га) для некоторой константы с < 1 и для всех пЬ, то д(п) = в(/(га)). Доказательство. 1. В первом случае достаточно доказать утверждение леммы для функции /(га) = га", где а = logfe а - е Для такой функции / равенство (4.7) может быть переписано так: (теперь а = logfe a) д(п) = /(га) + а/(га/6) + а2/(га/62) + ... + ak~l f(n/bk-1) = па + a(n/b)a + a2(n/b2)a + ... + ak-1(n/bk-1)a; (4.8) правая часть представляет собой геометрическую прогрессию длины k = logfe га со знаменателем а/Ьа; этот знаменатель больше 1, так как а < logfe а и Ьа < а. Для такой прогресии сумма по порядку равна последнему члену (отличается от него не более чем на константу раз). Этот последний член есть 0(ак) = O(ralogba). Для первого случая утверждение леммы доказано. 2.Во втором случае аналогичное рассуждение даёт сумму того же вида: дЫ) = Дга) + af(n/b) + a2f(n/b2) + ... = па + а(п/Ъ)а + а2(п/Ь2)а + ... ,(4.9) но теперь а = logb а и потому знаменатель геометрической прогрессии равен 1 и все её члены равны. Их число есть logfe га, и потому сумма равна га1о§ьа1оёбга = в(га1о§ьа1ёга). Случай 2 разобран. 3.В этом случае условие регулярности функции / гарантирует, что в нашей сумме каждый следующий член не превосходит предыдущего, умноженного на с < 1. Тем самым её можно оценить сверху убывающей геометрической прогрессией со знаменателем с, и сумма такой прогрессии не более чем в константу (равную 1/(1 - с)) раз превосходит первый член (но и не меньше его, так как все слагаемые неотрицательны). Таким образом, дЫ) = 0(/(га)) для га, являющихся степенями Ь. Доказательство леммы завершено. □ Теперь мы можем доказать основную теорему о рекуррентных оценках для случая, когда га есть натуральная степень 6. Лемма 4.4. Пусть а 1, 6 > 1 - константы, и пусть /(га) - неотрицательная функция, определённая на степенях Ь. Пусть Г (га) - функция, определённая на степенях Ь соотношением ТЫ) = аТ(п/Ь) + /(га) при га > 1 и Г(1) > 0. Тогда: 1.Если /(га) = O(ralogba e) для некоторого е > 0, то Т(п) = 6(га1о§ьа). 2.Если /(га) = 6(га1о§ьа), гао Г (га) = 6(га1о§ьа) lg га. 3.Если /(га) = £7(ralogba+e) для некоторого е > 0 и если а/(га/6) с/(га) для некоторой константы с < 1 и для достаточно больших га, то Т(п) = в(/(га)). ??????? Как убрать точку в конце слова Доказательство? Доказательство, состоит в комбинации лемм 4.2 и 4.3. В первом случае получаем Т(п) = в(га1о§ьа) +О(га1о§ьа) = в(га1о§ьа). Во втором случае имеем ТЫ) = в(га1о§ьа) +в(га1о§ьа1ёга) = в(га1о§ьа lg га). |
Среды: Smalltalk80 MicroCap Local bus Bios Pci 12С ML Микроконтроллеры: Atmel Intel Holtek AVR MSP430 Microchip Книги: Емкостный датчик 500 схем для радиолюбителей часть 2 (4) Структура компьютерных программ Автоматическая коммутация Кондиционирование и вентиляция Ошибки при монтаже Схемы звуковоспроизведения Дроссели для питания Блоки питания Детекторы перемещения Теория электропривода Адаптивное управление Измерение параметров Печатная плата pcad pcb Физика цвета Управлении софтверными проектами Математический аппарат Битовые строки Микроконтроллер nios Команды управления выполнением программы Перехода от ahdl к vhdl Холодный спай Усилители hi-fi Электронные часы Сердечники из распылённого железа Анализ алгоритмов 8-разрядные КМОП Классификация МПК История Устройства автоматики Системы и сети Частотность Справочник микросхем Вторичного электропитания Типы видеомониторов Радиобиблиотека Электронные системы Бесконтекстный язык Управление техническими системами Монтаж печатных плат Работа с коммуникациями Создание библиотечного компонента Нейрокомпьютерная техника Parser Пи-регулятор ч.1 ПИ-регулятор ч.2 Обработка списков Интегральные схемы Шина ISAВ Шина PCI Прикладная криптография Нетематическое: Взрывной автогидролиз Нечеткая логика Бытовые установки (укр) Автоматизация проектирования Сбор и защита Дискретная математика Kb радиостанция Энергетика Ретро: Прием в автомобиле Управление шаговым двигателем Магнитная запись Ремонт микроволновки Дискретные системы часть 2 | ||