|
||||
Меню:
Главная
Форум
Литература: Программирование и ремонт Импульсные блоки питания Неисправности и замена Радиоэлектронная аппаратура Микросхема в ТА Рубрикатор ТА Кабельные линии Обмотки и изоляция Радиоаппаратура Гибкие диски часть 2 часть 3 часть 4 часть 5 Ремонт компьютера часть 2 Аналитика: Монтаж Справочник Электроника Мощные высокочастотные транзисторы 200 микросхем Полупроводники ч.1 Часть 2 Алгоритмические проблемы 500 микросхем 500 микросхем Сортировка и поиск Монады Передача сигнала Электроника Прием сигнала Телевидиние Проектирование Эвм Оптимизация Автомобильная электроника Поляковтрансиверы Форт Тензодатчик Силовые полевые транзисторы Распределение частот Резисторные и термопарные Оберон Открытые системы шифрования Удк |
[221] Множитель ( - 1)г+3 det(A[jjj) называется алгебраическим дополнением (cofactor) элемента а. Следующие две теоремы (доказательства мы опускаем) указывают основные свойства определителя. Теорема 31.4 (Свойства определителя) Определитель квадратной матрицы А обладает следующими свойствами: •Если в какой-либо строке или каком-либо столбце матрицы стоят одни нули, то её определитель равен 0. •Если умножить все элементы какой-либо строки матрицы на некоторое число А, то её определитель умножится на А. •Если прибавить к элементам одной строки соответствующие элементы другой, то определитель не изменится (аналогично для столбцов). •Определители матриц А и АТ равны. •При перестановке двух строк или столбцов матрицы её определитель меняет знак. Если А и В - квадратные матрицы одинакового размера, то det(AB) = det(A) det(B). Теорема 31.5 Квадратная матрица А вырождена тогда и только тогда, когда det(A) = 0. Положительно определённые матрицы Матрица А размера га X га называется положительно определённой (positive-definite), если х1Ах > 0 для любого ненулевого вектора х размера га. Например, единичная матрица положительно определена, поскольку для вектора х = (ж1, ж2,... , хп)Т ф 0 мы имеем ЖГ- Т у. - у.у. J. yi, * - *х * ъ П 8 = 1 > 0. Часто положительно определённые матрицы возникают так: Теорема 31.6 Для любой матрицы А полного столбцового ранга матрица АтА положительно определена. Доказательство. Покажем, что хт(АтА)х > 0 для произвольного ненулевого век- тора ж. В самом деле, хТ(АТА)х = (Ах)1 (Ах)(Упражнение 31.1-3) = \\Ах\\2(31.8) > О Выражение Аж2 представляет собой сумму квадратов элементов вектора Ах. Если Аж2 = 0, то все элементы вектора Ах равны О, то есть Ах = 0. Но А - матрица полного столбцового ранга, поэтому по теореме 31.2 отсюда следует, что ж = 0. Другие свойства положительно определённых матриц указаны разделе 31.6. Упражнения 31.1-1 Докажите, что произведение двух нижне-треугольных матриц является нижне-треугольной матрицей. Докажите, что определитель нижне- или верхнетреугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов. Докажите, что матрица, обратная к нижне-треугольной, сама будут нижне-треугольной (если существует). 31.1-2 Пусть Р и А - (га X га) матрицы, причём Р - матрица перестановки. Докажите, что матрица РА получается из А перестановкой строк, а АР - перестановкой столбцов. Докажите, что произведение двух матриц перестановки снова будет матрицей перестановки. Докажите, что если Р - матрица перестановки, то Р обратима, Р~г = Рт, и Рт также является матрицей перестановки. 31.1-3 Докажите, что (АВ)Т = ВтАт. Докажите, что матрица АтА является симметрической для любой матрицы А. 31.1-4 Докажите, что обратная матрица единственна: если матрицы В и С являются обратными к матрице А, то В = С. 31.1-5 Пусть даны (га X га)-матрицы А и В, для которых AB = I. Пусть А получается из А прибавлением j-й строки к г-й. Докажите, что матрица В, обратная к А, может быть получена вычитанием г-го столбца из j-ro в матрице В. 31.1-6 Пусть А - комплексная (га X га)-матрица. Докажите, что все элементы А-1 будут вещественными в том и только том случае, если вещественны все элементы А. 31.1-7 Покажите, что если невырожденная матрица А является симметрической, то матрица А-1 тоже будет симметрической. Покажите, что для всякой матрицы В надлежащего размера матрица ВАВТ будет симметрической. 31.1-8 Покажите, что для матриц полного столбцового ранга, и только для них, из равенства Ах = 0 следует равенство х = 0. (Указание. Запишите условие линейной зависимости столбцов как матричное уравнение.) 31.1-9 Докажите, что для любых матриц Ап В согласованных размеров rank(AB) mm(rank(A), гапк(В)), причём это неравенство обращается в равенство, если одна из матриц квадратная и невырожденная, (Указание. Воспользуйтесь вторым определением ранга.) 31.1-10 Матрицей Вандермонда (Vandermonde matrix) называется матрица V(x0, -п-1 J Л 1 Vi Xq х\ r-n-l -п-1 .Г1 „п-1 Докажите, что det(V(x0, xi, -п-1 )) П < O.j.k.n-1 (Указание. Последовательно полагая г = п-1, п - 2,... , 1 прибавьте к [г + 1)-му столбцу г-й, умноженный на ( -жо), а затем примените индукцию.) 31.2. Алгоритм Штрассена умножения матриц В этом разделе излагается открытый Штрассеном рекурсивный алгоритм, умножающий две га X га матрицы за время 0(ralg7) = О (га2,81). При достаточно больших га он работает быстрее простейшего алгоритма Matrix-Multiply из раздела 26.1. Общая схема алгоритма. Алгоритм Штрассена действует по принципу «разделяй и властвуй». Пусть нужно вычислить произведение двух (га X га)-матриц С = АВ. Предположив, что га является точной степенью 2, разделим каждую из матриц А,В и С на 4 блока размера (га/2 X га/2). Перепишем равенство С = АВ следующим образом: :) -1) 0") • (3l9) |
Среды: Smalltalk80 MicroCap Local bus Bios Pci 12С ML Микроконтроллеры: Atmel Intel Holtek AVR MSP430 Microchip Книги: Емкостный датчик 500 схем для радиолюбителей часть 2 (4) Структура компьютерных программ Автоматическая коммутация Кондиционирование и вентиляция Ошибки при монтаже Схемы звуковоспроизведения Дроссели для питания Блоки питания Детекторы перемещения Теория электропривода Адаптивное управление Измерение параметров Печатная плата pcad pcb Физика цвета Управлении софтверными проектами Математический аппарат Битовые строки Микроконтроллер nios Команды управления выполнением программы Перехода от ahdl к vhdl Холодный спай Усилители hi-fi Электронные часы Сердечники из распылённого железа Анализ алгоритмов 8-разрядные КМОП Классификация МПК История Устройства автоматики Системы и сети Частотность Справочник микросхем Вторичного электропитания Типы видеомониторов Радиобиблиотека Электронные системы Бесконтекстный язык Управление техническими системами Монтаж печатных плат Работа с коммуникациями Создание библиотечного компонента Нейрокомпьютерная техника Parser Пи-регулятор ч.1 ПИ-регулятор ч.2 Обработка списков Интегральные схемы Шина ISAВ Шина PCI Прикладная криптография Нетематическое: Взрывной автогидролиз Нечеткая логика Бытовые установки (укр) Автоматизация проектирования Сбор и защита Дискретная математика Kb радиостанция Энергетика Ретро: Прием в автомобиле Управление шаговым двигателем Магнитная запись Ремонт микроволновки Дискретные системы часть 2 | ||