|
||||
Меню:
Главная
Форум
Литература: Программирование и ремонт Импульсные блоки питания Неисправности и замена Радиоэлектронная аппаратура Микросхема в ТА Рубрикатор ТА Кабельные линии Обмотки и изоляция Радиоаппаратура Гибкие диски часть 2 часть 3 часть 4 часть 5 Ремонт компьютера часть 2 Аналитика: Монтаж Справочник Электроника Мощные высокочастотные транзисторы 200 микросхем Полупроводники ч.1 Часть 2 Алгоритмические проблемы 500 микросхем 500 микросхем Сортировка и поиск Монады Передача сигнала Электроника Прием сигнала Телевидиние Проектирование Эвм Оптимизация Автомобильная электроника Поляковтрансиверы Форт Тензодатчик Силовые полевые транзисторы Распределение частот Резисторные и термопарные Оберон Открытые системы шифрования Удк |
[227] Раскрыв скобки, мы приходим к уравнению АТАс = Ату, (31.33) называемому в математической статистике нормальным уравнением (normal equation). Матрица АтА будет симметрической (упр. 31.1-3), и, если только А имеет полный столбцовый ранг, положительно определённой (теорема 31.6). В этом случае (лемма 31.13) существует обратная матрица (АТА)~1, и решение системы (31.33) единственно: е=((АтА)-1Ат)у = А+у, (31.34) Здесь через А+ обозначена матрица [АТА)-1АТ, называемая псевдообратной (pseudoinverse) к матрице А. Это понятие является естественным обобщением понятия обратной матрицы на случай неквадратных матрицы. (Сравните формулу (31.34), дающую решение системы Ас = у по методу наименьших квадратов, с формулой х = A~lЬ, дающей точное решение системы Ах = Ъ.) Для примера рассмотрим 5 экспериментальных точек (-1,2),(1,1),(2,1),(3,0),(5,3) (чёрные кружки рис. 31.3.) Мы хотим провести рядом с ними график квадратного трёхчлена F( ci + с2х + с3а Выпишем матрицу значений базисных функций: А /1 2 3 4 х \ х2 х3 Х4 Х5 и найдём псевдообратную к ней: А+ 0.500 -0.388 0.060 0.300 0.093 -0.036 /1 1 1 1 0.200 0.190 -0.048 1 1\ 1 4 9 25/ 0.100 -0.100 0.193 -0.088 -0.036 0.060 Искомый вектор коэффициентов (с = А+у) будет равен 1.200 -0.757 0.214 Рис. 31.1 31.3 Метод наименьших квадратов в применении к точкам {( -1, 2), (1, 1), (2, 1), (3, 0), (5, 3)} (чёрные). Показан наилучший квадратный трёхчлен и его значения (светлые кружки). Серые отрезки - невязки, их сумма квадратов должна быть как можно меньше. Ответ: квадратный трёхчлен F(x) = 1.200 - 0.757ж + 0.214ж2, представляет собой наилучшее приближение в смысле наименьших квадратов. На практике при решении нормального уравнения (31.33) строят LU-разложение матрицы АТА - это положительно определённая симметрическая матрица (если А имеет полный ранг, см. упр. 31.13 и теорему 31.6). Упражнения 31.6-1 Докажите, что все элементы на диагонали положительно определённой симметрической матрицы положительны. 31.6-2 Докажите, что для положительно определённой симметрической матрицы размера 2 X 2 дискриминант ас - Ь2 положителен, выделив полный квадрат в соответствующей квадратичной форме (аналогично доказательству Леммы 31.15). Как вывести это из утверждения леммы 31.15? 31.6-3 Докажите, что наибольший элемент положительно определённой матрицы матрицы находится на её диагонали. 31.6-4 Докажите, что определитель всякого углового минора положительно определённой симметрической матрицы положителен. 31.6-5 Пусть Ak - к - й угловой минор положительно определённой симметрической матрицы А. Докажите, что в при построении LU-разложения матрицы А с помощью LU-Decomposition к-й главный элемент будет равен det(Ajt)/det(Ajt-i). (Мы полагаем условно det(Ao) = 1.) 31.6-6 Даны точки (1,1), (2,1), (3, 3), (4, 8). Постройте приближение вида F[x) = с\ + с2х lg ж + с3ех методом наименьших квадратов. 31.6-7 Докажите следующие свойства псевдообратных матриц: АА+А А+АА+ (АА+)Т (А+А)т А А+, АА+, А+А. Задачи 31-1 Вероятностный алгоритм Шамира для умножения булевых матриц. В разделе 31.3 мы видели, что алгоритм Штрассена нельзя просто так применить для булевых матриц, поскольку булево квазикольцо Q = ({0,1}, V, Л, 0,1) не является кольцом. Теорема 31.10 модифицирует алгоритм Штрассена и позволяет умножить две бу-левые матрицы размера га X га за время 0(ralg7), но арифметические операции приходится выполнять над 0(lg га)-битовыми числами. Вероятностный алгоритм Шамира производит только битовые операции и работает почти столь же быстро, однако не всегда даёт правильный ответ. Сейчас мы его опишем. a.Покажите, что числовая система R = ({0,1}, ©, Л, 0,1), где © означает XOR (исключаещее ИЛИ, сложение по модулю 2) представляет собой кольцо. Пусть А и В - булевы (га X га)-матрицы, а С = АВ - их произведение над квазикольцом Q Построим по матрице А матрицу А так: нули остаются на своих местах, а каждая единица либо остаётся на месте, либо заменяется нулём (с вероятностью 50%, разные единицы ведут себя независимо). b.Положим С = (с--) = АВ, причём умножение выполняется над кольцом R. Докажите, что если c8j = 0, то с- - = 0. Докажите, что если Cij = 1, то с- - = 1 с вероятностью 1/2. c.Взяв произвольное е > 0, повторим процедуру построения А и вычисления С чем lg(ra2/e) раз или более, каждый раз делая независимые случайные выборы. Докажите, что если c8j = 1 для некоторых г и j, то вероятность того, что с-- ни разу не примет значения 1, не превосходит е/п2. Докажите, что вероятность того, что в любой позиции, где c8j = 1, хоть раз был правильный ответ (т.е. 1), не меньшее 1-е. d.Для любой константы к укажите алгоритм, вычисляющий произведение двух булевых (га X га)-матриц за время 0(ralg7lgra) с вероятностью ошибки не выше 1/пк. Над элементами матриц разрешается производить только побитовые операции Л, V и ©. 31-2 Трёхдиагональные системы линейных уравнений. |
Среды: Smalltalk80 MicroCap Local bus Bios Pci 12С ML Микроконтроллеры: Atmel Intel Holtek AVR MSP430 Microchip Книги: Емкостный датчик 500 схем для радиолюбителей часть 2 (4) Структура компьютерных программ Автоматическая коммутация Кондиционирование и вентиляция Ошибки при монтаже Схемы звуковоспроизведения Дроссели для питания Блоки питания Детекторы перемещения Теория электропривода Адаптивное управление Измерение параметров Печатная плата pcad pcb Физика цвета Управлении софтверными проектами Математический аппарат Битовые строки Микроконтроллер nios Команды управления выполнением программы Перехода от ahdl к vhdl Холодный спай Усилители hi-fi Электронные часы Сердечники из распылённого железа Анализ алгоритмов 8-разрядные КМОП Классификация МПК История Устройства автоматики Системы и сети Частотность Справочник микросхем Вторичного электропитания Типы видеомониторов Радиобиблиотека Электронные системы Бесконтекстный язык Управление техническими системами Монтаж печатных плат Работа с коммуникациями Создание библиотечного компонента Нейрокомпьютерная техника Parser Пи-регулятор ч.1 ПИ-регулятор ч.2 Обработка списков Интегральные схемы Шина ISAВ Шина PCI Прикладная криптография Нетематическое: Взрывной автогидролиз Нечеткая логика Бытовые установки (укр) Автоматизация проектирования Сбор и защита Дискретная математика Kb радиостанция Энергетика Ретро: Прием в автомобиле Управление шаговым двигателем Магнитная запись Ремонт микроволновки Дискретные системы часть 2 | ||