|
||||
Меню:
Главная
Форум
Литература: Программирование и ремонт Импульсные блоки питания Неисправности и замена Радиоэлектронная аппаратура Микросхема в ТА Рубрикатор ТА Кабельные линии Обмотки и изоляция Радиоаппаратура Гибкие диски часть 2 часть 3 часть 4 часть 5 Ремонт компьютера часть 2 Аналитика: Монтаж Справочник Электроника Мощные высокочастотные транзисторы 200 микросхем Полупроводники ч.1 Часть 2 Алгоритмические проблемы 500 микросхем 500 микросхем Сортировка и поиск Монады Передача сигнала Электроника Прием сигнала Телевидиние Проектирование Эвм Оптимизация Автомобильная электроника Поляковтрансиверы Форт Тензодатчик Силовые полевые транзисторы Распределение частот Резисторные и термопарные Оберон Открытые системы шифрования Удк |
[241] Периодичность позволяет продолжить последовательность в обе стороны, определив как = a(8modf) (рИ всяком целом г (в том числе и отрицательном.) Следствие 33.19 В конечной группе (S, ф) с единицей е для всякого а £ S выполняется равенство as = е. Доказательство По теореме Лагранжа ord(a) \ \S\, откуда 15*1 = 0 (mod t), где t = ord(a). Упражнения 33.3-1 Напишите таблицы для групповых операций в группах (Z£, +4) и (Z*,, -5). Докажите, что эти группы изоморфны, то есть постройте взаимно-однозначное соответствие а между их элементами, удовлетворяющее следующему свойству: равенство а + Ь = с (mod 4) должно выполняться одновременно с равенством а (а) а(Ь) = а (с) (mod 5). 33.3-2 Докажите теорему 33.14 33.3-3 Пусть р - простое число, к - положительное целое число. Докажите, что <р(рк) =рк~г(р- 1). 33.3-4 Пусть п > 1 и а £ Z*. Докажите, что функция fa : Z* -> Z*, определяемая равенством fa(x) = ах mod п является перестановкой множества Z*. 33.3-5 Выпишите все подгруппы групп Zg и Z*3. 33.4. Решение линейных диофантовых уравнений Нас будут интересовать целочисленные решения уравнения ах = Ь (mod га),(33.22) (здесь а, Ь и га - целые числа; такие уравнения называют «линейными диофантовыми уравнениями»). Ясно, что здесь ва- жен лишь остаток от деления х на га, так что решением (33.22) естественно называть не целое число, а элемент группы Ъп (класс чисел, дающих один и тот же остаток при делении на га). Таким образом, можно сформулировать задачу так: есть элементы а, Ь £ Zra, мы ищем все х £ Zra, для которых ах = Ь (mod га). Напомним, что через (а) обозначается порождённая элементов а подгруппа (в данном случае подгруппа группы Zra). По определению (а) = {а : х > 0} = {ах mod га : х > 0}, поэтому уравнение (33.22) имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда Ь £ (а). Сколько элементов вПо теореме Лагранжа (33.15) это число является делителем га. Теорема 33.20 Для любых положительных целых а и га (а) = (d) = {0, d,2d,..., ((n/d) - l)d},(33.23) и I (а) I = n/d, где d = gcd (а, ra). Доказательство Расширенный алгоритм Евклида в применении капп даёт тройку (d,x,yr), для которой d = gcd(a,ra) и ах + пу = d. Тогда ах = d (mod га), и потому d £ (а). С другой стороны, d есть делитель а, и потому а £ (d). Следовательно, (a) = (d) = {0,d,2d,... , ((n/d) - l)d} Следствие 33.21 Уравнение ах = Ь (mod га) разрешимо относительно х тогда и только тогда, когда НОД(а, га) Ь. Следствие 33.22 Уравнение ах = Ь (mod га) имеет <i = gcd(a,ra) различных решений в Ъп или не имеет их вовсе. Доказательство Если уравнение ах = Ь (mod га) имеет решение, то Ь £ (а). Согласно следствию 33.18, последовательность ах mod га (а и га фиксированы, ж = 0,1,...) периодична с периодом \{а)\ = n/d. Если Ь £ (а), то 6 встречается ровно один раз среди первых n/d членов рассматриваемой последовательности. При изменении г от 0 до га - 1 этот набор из n/d чисел проходится d раз и элемент Ь встречается d раз; соответствующие значения ж служат решениями уравнения ах = Ь (mod га). Теорема 33.23 Пусть d = gcd (а, га) = ах Л-пу, где ж и у - целые числа (например, выдаваемые процедурой Extended-Euclid). Если d \ Ь, то число жо = x(b/d) (mod га) является решением уравнения ах = Ь (mod га). Доказательство По условию ах = <i (mod га), поэтому ажо = ax(b/d) = d(b/d) = 6 (mod га). Теорема 33.24 Пусть уравнение ах = Ь (mod га) разрешимо, и жо является его решением. Тогда уравнение имеет d = gcd(a,6) решений в Ъп, задаваемых формулой Xi = жо + i(n/d), где г = 0,1, 2,... , га - 1. Доказательство Начав с жо и двигаясь с шагом n/d, мы сделаем d шагов, прежде чем замкнём круг. При этом все эти числа будут оставаться решениями уравнения ах = Ь (mod га), так как при увеличении ж на n/d произведение ах увеличивается на n(a/d), то есть на кратное га. Таким образом, мы перечислили все d решений. В соответствии со сказанным напишем процедуру, которая по целым числам а, 6 и га > 0 даёт все решения уравнения ах = Ь (mod га). Modular-Linear-Equation-Solver(a,b,п) 1(d,x,у)\gets Extended-Euclid(a,n) 2if d b 3then x 0 \gets x (b/d) \bmod n 4for i \gets 0 to d-1 5do print (x 0+i(n/d)) \bmod n 6else print "нет решений" Например, для уравнения 14ж = 30 (mod 100) (а = 14, 6 = 30 и га = 100) вызов процедуры Extended-Euclid в строке 1 даёт (d, х, у) = (2, -7,1). Поскольку 2 30, в строке 3 вычисляется жо = ( - 7) • (15) mod 100 = 95, и в строках 4-5 печатаются числа 95 и 45. Процедура Modular-Linear-Equation-Solver (а, га) выполняет 0(lg п-\-НОД(а, га)) арифметических операций (O(lgra) в строке 1 и О (gcd (а, га)) в остальных строках). Следствие 33.25 Пусть га > 1. Если gcd (а, га) = 1, то уравнение ах = Ь (mod га) имеет единственное решение (в Ъп). Случай 6=1 особенно важен - при этом мы находит обратный к х элемент по модулю га (multiplicative inverse modulo га), то есть обратный в группе Z* элемент. Следствие 33.26 Пусть га > 1. Если gcd (а, га) = 1, то уравнение ах = 1 (mod га)(33.24) имеет единственное решение в Ъп. При gcd (а, га) > 1 это уравнение решений не имеет. Тем самым мы научились вычислять обратный элемент в группе Z* за О (lgra) арифметических операций. Упражнения 33.4-1 Решите уравнение 35ж = 10 (mod 50). 33.4-2 Докажите, что если gcd(a,ra) = 1, то из ах = ay (mod га) следует уравнение ж = у (mod га). Покажите на пример, что условие gcd(a,ra) = 1 существенно. 33.4-3 Будет ли работать процедура Modular-Linear-Equation-Solver, если строку 3 в ней заменить на 3 then х 0 \gets х (b/d) \bmod (n/d) |
Среды: Smalltalk80 MicroCap Local bus Bios Pci 12С ML Микроконтроллеры: Atmel Intel Holtek AVR MSP430 Microchip Книги: Емкостный датчик 500 схем для радиолюбителей часть 2 (4) Структура компьютерных программ Автоматическая коммутация Кондиционирование и вентиляция Ошибки при монтаже Схемы звуковоспроизведения Дроссели для питания Блоки питания Детекторы перемещения Теория электропривода Адаптивное управление Измерение параметров Печатная плата pcad pcb Физика цвета Управлении софтверными проектами Математический аппарат Битовые строки Микроконтроллер nios Команды управления выполнением программы Перехода от ahdl к vhdl Холодный спай Усилители hi-fi Электронные часы Сердечники из распылённого железа Анализ алгоритмов 8-разрядные КМОП Классификация МПК История Устройства автоматики Системы и сети Частотность Справочник микросхем Вторичного электропитания Типы видеомониторов Радиобиблиотека Электронные системы Бесконтекстный язык Управление техническими системами Монтаж печатных плат Работа с коммуникациями Создание библиотечного компонента Нейрокомпьютерная техника Parser Пи-регулятор ч.1 ПИ-регулятор ч.2 Обработка списков Интегральные схемы Шина ISAВ Шина PCI Прикладная криптография Нетематическое: Взрывной автогидролиз Нечеткая логика Бытовые установки (укр) Автоматизация проектирования Сбор и защита Дискретная математика Kb радиостанция Энергетика Ретро: Прием в автомобиле Управление шаговым двигателем Магнитная запись Ремонт микроволновки Дискретные системы часть 2 | ||