достигнутого при предыдущих хороших (как мы видели в разделе 8.2, для алгоритма быстрой сортировки это так).

Вместо того, чтобы предварительно переставлять элементы массива, мы можем внести элемент случайности в процедуру Partition. Именно, перед разбиением массива А[р..г] будем менять элемент А\р] со случайно выбранным элементом массива. Тогда каждый элемент с равной вероятностью может оказаться граничным, и в среднем разбиения будут получаться достаточно сбалансированными.

Этот подход заменяет разовую случайную перестановку входов в начале использованием случайных выборов на всём протяжении работы алгоритма. В сущности это то же самое, и оба алгоритма имеют математическое ожидание времени работы О (га lgra), но небольшие технические различия делают анализ нового варианта проще, и именно он будет рассматриваться в разделе 8.4.

Изменения, которые нужно внести в процедуры, совсем невелики:

Randomized-Partition(A,p, г)

1г <- Random(p, г)

2поменять А\р] -И- А[г]

3return Partition (А, р, г)

В основной процедуре теперь будет использоваться Randomized-Partition вместо Partition:

Randomized-Quicksort(A,p, г)

1if р < г

2then q <- Randomized-Partition(A, р, г)

3Randomized-Quicksort(A,p, q)

4Randomized-Quicksort(A, q + 1, r)

Анализом этого алгоритма мы займёмся в следующем разделе. Упражнения

8.3-1 Почему для вероятностного алгоритма важно не максимальное время работы (для данного входа), а математическое ожидание этого времени?

8.3-2 Сколько раз при выполнении процедуры Randomized-Quicksort может происходить обращение к генератору случайных чисел Random в худшем случае? Изменится ли ответ для наилучшего случая?

8.3-3* Реализуйте процедуру Random (а, 6), используя бросания монеты, т.е. датчик, с равной вероятностью выдающий 0 или 1.

Каково математическое ожидание времени работы вашей процедуры?

8.3-4* Придумайте вероятностную процедуру, которая за время в (га) случайным образом переставляет элементы входного массива А[1. .га].

8.4. Анализ быстрой сортировки

В этом разделе мы превратим «интуитивные» соображения раздела 8.2 в строгое рассуждение. Сначала мы рассмотрим наихудший случай (рассуждения будут одинаковы и для алгоритма Quicksort, и для алгоритма Randomized-Quicksort), а затем найдём среднее время работы алгоритма Randomized-Quicksort.

8.4.1. Анализ наихудшего случая

В разделе 8.2 мы видели, что если разбиение на каждом шаге наиболее несбалансировано, то время работы составляет 0(га2). Интуитивно ясно, что это наихудший (в смысле времени работы) случай. Сейчас мы строго докажем это.

Для доказательства того, что время работы составляет О(га2), мы используем метод подстановки (см. разд. 4.1). Пусть Т(п) - наибольшее время работы алгоритма для массива длины га. Тогда, очевидно,

Г(га) = max (T(g)+T(ra-g))+@(ra)(8.1)

l<q<n- 1

(мы рассматриваем все возможные разбиения на первом шаге). Предположим, что T(q) cq2 для некоторой константы с и для всех q, меньших некоторого га. Тогда

Г(га) max (cg2+c(ra - g)2)+©(ra) = с- max (g2 + (ra - g)2)+©(ra).

l<q<n- 1l<q<n- 1

Квадратный трёхчлен q2 + (ra - q)2 достигает максимума на отрезке lgra - 1 в его концах (вторая производная по q положительна, поэтому функция выпукла вниз, см. упр. 8.4-2). Этот максимум равен I2 + (га - I)2 = га2 - 2(га - 1). Отсюда получаем

Г(га) era2 - 2с(га - 1) + 0(ra) era2,

если константа с выбрана так, чтобы последнее слагаемое было меньше предпоследнего. Итак, время работы в худшем случае составляет ©(га2).

8.4.2. Анализ среднего времени работы

Как мы уже видели в разделе 8.2, если разбиения производятся так, что отношение размеров частей ограничено, то глубина дерева рекурсии равна в (lgra), а время работы - в (га lgra). Чтобы получить оценку среднего времени работы алгоритма Randomized-Quicksort, мы сначала проанализируем работу процедуры Partition, затем получим рекуррентное соотношение на среднее время работы и решим его (попутно получив одну полезную оценку).

Анализ разбиений

Напомним, что перед тем как в строке 3 процедуры Randomized-Partition вызывается процедура Partition, элемент А\р] переставляется со случайно выбранным элементом массива А[р..г]. Для простоты мы будем предполагать, что все числа в массиве различны. Хотя оценка среднего времени сохраняется и в том случае, когда в массиве есть одинаковые элементы, получить её сложнее, и мы этого делать не будем.

Прежде всего, заметим, что значение q, которое возвратит процедура Partition, зависит только от того, сколько в массиве элементов, не больших ж = А\р] (число таких элементов мы будем называть рангом (rank) элемента х и обозначать гапк(ж)). Если га = г - р + 1 - число элементов в массиве, то, поскольку все элементы имеют равные шансы попасть на место А\р], все значения гапк(ж), от 1 до га, равновероятны (имеют вероятность 1/га).

Если гапк(ж) > 1, то, как легко видеть, при разбиении левая часть будет содержать гапк(ж) - 1 элементов - в ней окажутся все элементы, меньшие ж. Если же гапк(ж) = 1, то левая часть будет содержать один элемент (после первого же выполнения цикла будет г = j = р). Отсюда следует, что с вероятностью 1/га левая часть будет содержать 2, 3,..., га - 1 элементов, а с вероятностью 2/га - один элемент.

Рекуррентное соотношение для среднего времени работы

Обозначим среднее время работы алгоритма Randomized-Quicksort для массива из га элементов через Т(п). Ясно, что Т(1) = 0(1). Время работы состоит из времени работы процедуры Partition, которое составляет О (га), и времени работы для двух массивов размера q и га - q, причём q с вероятностью 2/га принимает значение 1 и с вероятностью 1/га - значения 2,...,га - 1.