|
||||
Меню:
Главная
Форум
Литература: Программирование и ремонт Импульсные блоки питания Неисправности и замена Радиоэлектронная аппаратура Микросхема в ТА Рубрикатор ТА Кабельные линии Обмотки и изоляция Радиоаппаратура Гибкие диски часть 2 часть 3 часть 4 часть 5 Ремонт компьютера часть 2 Аналитика: Монтаж Справочник Электроника Мощные высокочастотные транзисторы 200 микросхем Полупроводники ч.1 Часть 2 Алгоритмические проблемы 500 микросхем 500 микросхем Сортировка и поиск Монады Передача сигнала Электроника Прием сигнала Телевидиние Проектирование Эвм Оптимизация Автомобильная электроника Поляковтрансиверы Форт Тензодатчик Силовые полевые транзисторы Распределение частот Резисторные и термопарные Оберон Открытые системы шифрования Удк |
[84] Это делается с помощью теоремы 6.6. Напомним, что математическое ожидание 15*1 есть fj, = Нп In га, и по теореме 6.6 мы имеем P{\s\ >(р +1)#4 = p{\s\ -ц> [знп} <с = е{1-\пр)рНп e-(ln/3-l)/31nn = = n-Qnp-i)p = = 1/га2 согласно определению числа fi.□ После такой подготовки вернёмся к деревьям поиска. Теорема 13.6. Средняя высота случайного двоичного дерева поиска, построенного по га различным ключам, есть О (lgra). Доказательство. Пусть к\, к2, , кп - случайная перестановка данных га ключей, Г - дерево, полученное последовательным добавлением этих ключей к пустому. Для фиксированного номера j и для произвольного числа t рассмотрим вероятность того, что глубина d(kj, Т) ключа kj не меньше t. Согласно следствию 13.4, в этом случае хотя бы одно из множеств Gj и Lj должно иметь размер не менее t/2. Таким образом, P{d(k3,T) t}< P{\G3\ 2 t/2} + P{\L3\ 2 t/2}.(13.2) Вначале рассмотрим P{G? t/2}. Оценим условную вероятность этого события при фиксированном множестве U = {t : 1 t j - 1 и ki > kj} (то есть когда известно, какие из элементов к\,..., kj i больше kj). Мы находимся в ситуации леммы 13.5 (все перестановки элементов с индексами из U равновероятны), и поэтому условная вероятность события \Gj\ t/2 при данном U равна вероятности того, что в случайной перестановке из и = \U\ элементов есть по крайней мере t/2 элементов, меньших всех предыдущих. С ростом и эта вероятность только растёт, так что все условные вероятности не превосходят P{\S\ t/2}, где S определено как в лемме 13.5. Поэтому и полная вероятность события {\Gj\ t/2} не превосходит P{\S\ t/2}. Аналогичным образом Р{-*/2}Р{5*/2} и, согласно неравенству (13.2), P{d(k3,T)t}2P{\S\t/2}. Взяв теперь t = 2(/3 + 1)Яп, где Нп = 1 + 1/2 + ... + 1/га (а /3 4,32 - корень уравнения (In/3 - 1)/3 = 2) и применив лемму 13.5, мы заключаем, что Всего вершин в дереве не более га, поэтому вероятность того, что какая-то вершина будет иметь глубину 2(/3+ 1)Нп или больше, не более чем в га раз превосходит такую же вероятность для одной вершины, и потому не превосходит 2/га. Итак, с вероятностью по меньшей мере 1 - 2/га высота случайного дерева не превосходит 2(/3 + 1)Нп, и в любом случае она не больше га. Таким образом, математическое ожидание не превосходит (2(/3 + 1)Нп)(1 - 2/га) + Упражнения 13.4-1 Приведите пример дерева поиска, в котором средняя (по всем вершинам) глубина вершины есть в (lgra), но высота дерева есть w(lgra). Насколько велика может быть высота дерева, если средняя глубина вершины есть в (lgra)? 13.4-2 Покажите, что при нашем понимании случайного двоичного дерева поиска не все упорядоченные деревья с данными га ключами равновероятны. (Указание: Рассмотрите случай га = 3.) 13.4-3* Для данной константы г 1 укажите константу t, для которой вероятность события «высота случайного двоичного дерева поиска не меньше tHn» меньше 1/гаг. 13.4-4* Рассмотрим алгоритм Randomized-Quicksort, применённый к последовательности из га чисел. Докажите, что для любой константы к > 0 существует такая константа с, что с вероятностью не менее 1 - с/пк алгоритм завершает работу за время era lg га. 13-1 Двоичные деревья поиска и равные ключи Равные ключи - источник проблем при работе с деревьями по- а. Какова асимптотика времени работы процедуры Tree-Insert при добавлении га одинаковых ключей в изначально пустое дерево? P{d(kj, Т) > 2(/3 + 1)#4 «С 2Р{5 £ (/3 + 1)#4 2/га2. □ Задачи иска. Задачи к главе 13 263 Причина тут в том, что при выборе в строках 5-7 и 11-13 мы в случае равенства всегда двигаемся направо по дереву. Будем рассматривать случай равенства отдельно. Оцените асимптотику времени добавления га равных ключей в пустое дерево при использовании трёх различных подходов: б. Храним в вершине х флаг Ь[х], и выбираем левого или правого ребёнка в зависимости от значения Ь[х]. При этом флаг меняется при каждом посещении вершины, так что направления чередуются. е. Храним элементы с равными ключами в одной вершине (с помощью списка) и добавляем элемент с уже встречавшимся ключом в этот список. г. Направление движения выбираем случайно. (Каково будет время в худшем случае? Что вы можете сказать о математическом ожидании?) 13-2 Цифровые деревья Рассмотрим две строки а = aai ... ар и Ь = bob\... bq, составленные из символов некоторого (упорядоченного) алфавита. Говорят, что строка а лексикографически меньше строки b (a is lexicographically less than b), если выполняется одно из двух условий: 1.Существует число j из 0.. min(p, q), при котором аг- = Ьг- для всех г = 0,1,..., j - 1 и aj < by 2.р < q и а{ = bi для всех г = 0,1,..., р. Например, 10100 < 10110 согласно правилу 1 (при j = 3), а 10100 < 101000 согласно правилу 2. Такой порядок применяется в словарях. Строение цифрового дерева (radix tree) видно из примера на рис. 13.6, где показано дерево, хранящее битовые строки 1011, 10, 011, 100 и 0. При поиске строки а = aai .. .ар мы на г-м шаге идём налево при о, = 0 и направо при аг- = 1. Пусть элементами множества S являются попарно различные битовые строки суммарной длины п. Покажите, как с помощью цифрового дерева отсортировать S в лексикографическом порядке за ©(га) действий. (Например, для множества рис. 13.6 результатом сортировки будет последовательность 0, 011,10,100,1011.) 13-3 Средняя глубина вершины в случайном двоичном дереве В этой задаче мы докажем, что математическое ожидание средней глубины вершины в случайном двоичном дереве с га вершинами есть О (lgra). Хотя этот результат слабее, чем результат теоремы 13.6, доказательство устанавливает интересные аналогии между двоичными деревьями поиска и процедурой Randomized-Quicksort из раздела 8.3. |
Среды: Smalltalk80 MicroCap Local bus Bios Pci 12С ML Микроконтроллеры: Atmel Intel Holtek AVR MSP430 Microchip Книги: Емкостный датчик 500 схем для радиолюбителей часть 2 (4) Структура компьютерных программ Автоматическая коммутация Кондиционирование и вентиляция Ошибки при монтаже Схемы звуковоспроизведения Дроссели для питания Блоки питания Детекторы перемещения Теория электропривода Адаптивное управление Измерение параметров Печатная плата pcad pcb Физика цвета Управлении софтверными проектами Математический аппарат Битовые строки Микроконтроллер nios Команды управления выполнением программы Перехода от ahdl к vhdl Холодный спай Усилители hi-fi Электронные часы Сердечники из распылённого железа Анализ алгоритмов 8-разрядные КМОП Классификация МПК История Устройства автоматики Системы и сети Частотность Справочник микросхем Вторичного электропитания Типы видеомониторов Радиобиблиотека Электронные системы Бесконтекстный язык Управление техническими системами Монтаж печатных плат Работа с коммуникациями Создание библиотечного компонента Нейрокомпьютерная техника Parser Пи-регулятор ч.1 ПИ-регулятор ч.2 Обработка списков Интегральные схемы Шина ISAВ Шина PCI Прикладная криптография Нетематическое: Взрывной автогидролиз Нечеткая логика Бытовые установки (укр) Автоматизация проектирования Сбор и защита Дискретная математика Kb радиостанция Энергетика Ретро: Прием в автомобиле Управление шаговым двигателем Магнитная запись Ремонт микроволновки Дискретные системы часть 2 | ||