А.В. Кузьмин

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОГО ДЕЙСТВИЯ

Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области автоматизированного машиностроения (УМО AM) в качестве учебного пособия для студентов вузов,обучающихся по направлениям: «Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств», «Автоматизация и управление» и специальностям: «Технология машиностроения», «Металлорежущие станки и инструменты», «Автоматизация технологических процессов и производств (в

машиностроении)»

Ульяновск 2001

1. ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

Дискретная математика является одним из основополагающих разделов кибернетики. Разработанные в дискретной математике положения позволяют представить различные по физической сути процессы и объекты в одинаковой форме, производить их сравнение, исследовать их действие и взаимодействие между собой, определять с научно обоснованных позиций рекомендации по построению различных управляющих устройств.

1.1. МНОЖЕСТВА И СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ

Множеством называется произвольная совокупность элементов произвольной природы.

В этом определении произвольная совокупность элементов означает, что количество элементов может быть как конечным, так и бесконечным, а элементы произвольной природы - то, что входящие в множество элементы могут обладать различными свойствами : цветом, массой, стоимостью, размерами и т. д., быть органическими или минеральными, одушевленными илинет ит.п. [1,2].

Таким образом, множество является одним из основополагающих понятий математики, которое уже нельзя определить через какие - либо более общие определения.

Множество можно задать двумя способами:

-перечислением всех элементов, входящих в множество;

-указанием правила принадлежности элементов множеству.

Общим обозначением множества служит пара фигурных скобок {}, внутри которых либо перечисляются элементы множеств, либо указывается правило принадлежности. Для обозначения конкретных множеств используются прописные буквы латинского и реже других алфавитов, например: А, B,D, Для обозначения элементов множеств чаще используются строчные буквы a,b,d, цифры, иногда другие обозначения, например □, А, #, ", !, ?,: ит.п. При обозначении множеств буквами часто используется дополнительно цифровая индексация, например: Aj,A2 ,A3 ,bj,b2,b3

При первом способе задания множества задаются следующим образом:

А2 = {а1,#,Ъ3,А,Ь1,к ,d3id,} .

Для указания принадлежности элемента, например, aj какому-либо множеству, например, Aj, пишут al е Al и говорят, что aj является элементом множества Aj или aj принадлежит множеству Aj, в противном случае пишут a g Aj (aj не принадлежит Aj).

При втором способе множества задаются следующим образом:

Х={х\х = 2п, п = 0,1,2,3...} ,

т.е. множество X состоит из элементов х, представляющих собой четные числа, или

А = {c е M ; С - детали из латуни}, где А - множество деталей узла, изготовленных из латуни; М - все множество деталей узла.

В обоих случаях после черты в первом или двоеточия во втором случае, что является эквивалентной записью, указывается правило принадлежности элементов х или с данному множеству.

В том случае, если множество не содержит ни одного элемента, оно называется пустым множеством и обозначается {} либо 0.

Понятие пустого множества весьма важно, т.к. позволяет задавать и оперировать множествами, не заботясь, есть ли в них элементы, например, для последнего примера, есть ли детали из латуни в узле машины.

Множество А является подмножеством множества В, если любой элемент множества А принадлежит множеству В, при этом записывают A сB. Например: А={2,1,А,0}, В={0, А,4,3,2,1,#) или А={множество зубчатых колес в металлорежущем станке}, B= {множество всех деталей в станке} или А={токарные станки с ЧПУ}, В={токарные станки}.

В этом случае говорят, что множество В включает множество А, в противном случае пишут A <z. B (В не включает А) [З].

Множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Из этого определения и определения подмножества следует, что множества, взаимно включающие друг друга, являются равными, т.е.

(А с С, ВсА)=>А = В ,

где => - символ следствия, означающий "влечет за собой", "следовательно".

Для обозначения не только включения, но и возможности равенства множеств используется знак с.

Из определения множеств и их равенства следует, что порядок элементов в множестве несущественен, т.е.

А = {а1,а2,Ъ,,Ь2, хЦ) , В = {□, H,aj,b]b2,a2} , А = В .

Булеаном, или универсумом, называется множество всех подмножеств данного множества, в том числе самого множества и пустого множества. Например, для множества ={а, Ь} универсум

U(A)={{a},{e},{a,e},{ }} .

Рассмотренные определения подмножества и равенства множеств устанавливают отношения между множествами. Их важнейшими свойствами являются :

- рефлексивность, т.е. выполнение рассматриваемого отношения для самого множества