Решение

Комплексное действующее значение тока дано в алгебраической форме записи (рис. 2.2). Перепишем комплексное значение так:

I = -3 + j4 = -(3 - j4) А. Показательная форма имеет вид

I = -л/32 + 42 e-j arctg (4/3) = -5e ~j 53,13°

J126,87°

Комплексная амплитуда Im =42I = 42 • 5ej126,87° = 7,07ej126,87° А. По определению

Рис. 2.2

i = Im[I„

Im[7,07e

J126,87° ejOt

] = 7,07sin(wt +126,87°) А.

В программе Mathcad мнимая единица определяется произведением 1j, знак умножения после набора цифры 1 не ставится. Ниже приведена программа для решения задачи.

I = i I = 5

im = j2-i

Im = 7.071 уi := arg(i) у i = 2.214

arg(i)--

у i у i

<- Присвоение переменной i комплекса действующего значения. <- Вычисление модуля комплекса i (действующего значения тока).

<- Вычисление амплитудного значения тока.

<- Вычисление начальной фазы комплекса i в радианах.

<- Вычисление начальной фазы комплекса i в градусах.

Задача 2.3

Мгновенные значения напряжения и тока на входе пассивного двухполюсника соответственно равны:

u = 100sin314t В; i = 0,2sin (314t + 53°) А.

Определить комплексное сопротивление и комплексную проводимость двухполюсника.

Решение

Комплексы действующего значения напряжения и тока равны:

По определению:

U = 70,71

I ~ 0,141

100 = 70,71 В; I = 02 eJ53°

J 53°

j53°

0,141 ej 53° А.

300,9 - j 399,3 Ом;

i 0,141

U 70,71

„j 53°

1.994-Ю -3 ej5r = 1,204-10 "3 + j 1.597-10 -3 Ом -1.

C iL

Задача 2.4

Действующее значение напряжения на входе цепи со схемой рис. 2.3 U = 100 В.

Найти действующие значения токов ветвей, если ХС = 20 Ом, R = 80 Ом, XL = 60 Ом. Проверить выполнение баланса мощностей. Построить векторные диаграммы токов и напряжений.

Решение

Пусть комплексное напряжение

U = U = 100 В. Комплексные сопротивления:

- ветвей: z 1 = - jXc = - j 20 Ом; z 2 = R = 80 Ом; z 3

i lC*L

Рис. 2.3

jXL = j 60 Ом,

участка 2-3: z

z 2 z 3

-80j6 = 28.8 + j 38.4 = 48 ej 53,1° Ом,

z 2 + z 3 80 + j 60 цепи: z = z1 + z23 = -j 20 + 28.8 + j 38.4 = 28.8 + j 18.4 = 34,176 ej32,6° Ом.

Ток на входе цепи

2,466 - j 1,575 = 2,926 e-

j32,6°

34,176ej 32,6 Напряжение на участке 2-3

U23 = Iz23 = 2,926 e-j32,6° 48 ej53,1° = 140,45 ej20,5° В. Токи ветвей

j20,5°° -= 1.756 ej 20,5° А;

j20,5°

2,341 e-

j69,5°

Действующие значения токов ветвей:

I = 2,926 А; IR = 1,756 А; IL = 2,341 А.

Баланс мощностей.

Комплексная мощность источника на входе цепи

100-2,926 ej 32,6° = 246,6 + j 157,5 ВА;

Ри = 246,6 Вт; Qu = 157,5 ВА.

Комплексная мощность нагрузок

SZ = I2 Z1 + IR Z2 + IL Z3 = 2,926 2-(-j 20) + 1,756 2-80 + 2,341 2 j 60

Pz = 246,6 Вт; Qz = 157,5 ВА. Баланс мощностей выполняется.

На рис. 2.4 в комплексной плоскости построены векторные диаграммы токов и напряжений. Напряжение

U1 = IZ1 = 58,52 e "j122,6° В

отстает от тока

I . Ток I&R - в фазе,

ток I&L на 90 отстает от напряжения U

=246,6 + j 157,5 ВА;

Рис. 2.4

C-2 i 2

Задача 2.5

В цепи со схемой рис. 2.5 найти комплексы действующих значений токов ветвей, напряжений u12 и u34. Действующее значение синусоидального напряжения U = 220 B. Активные сопротивления: R1 = 91 Ом; R3 = 510 Ом; R4 = 820 Ом. Реактивные сопротивления на частоте o источника напряжения: X1 = o L1 = 240 Ом; X2 = 1/ o C2 = 150 Ом; X3 = 1/ o C3 = 190 Ом.Рис. 2.5

Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений.

Решение

Назначаем положительные направления токов как на рис. 2.5. Пусть

U = U = 220 B. Определяем комплексные сопротивления:

Z1 = R1 + jX1 = 91 + j240 = 256,67ej 69° Ом; Z 2 =- jX2 =- j150 = 150e -j 90° Ом;

Z 3 = R3

jX3 = 510 - J190 = 544,24e ~j 20,4° Ом;