При f(t)=0

D(s) Ф g(s)

Ф f (s)

. Y(s) G(s)

N(s) D(s)

передаточная функция замкнутой системы по

задающему воздействию, главный оператор системы Ф(s)•

При g(t)=0 Ф f (s)

передаточная функция замкнутой системы по

возмущающему воздействию.

Сравнивая уравнения (4.4) и (4.5) видно, что Ф) = Ф>).

Таким образом, четверка передаточных функций Ф), Ф), Фxg(s), Фxf(s) полностью определяет замкнутую систему управления.

Выразим передаточные функции замкнутой системы через передаточные функции ее отдельных элементов. Для этого на основании функциональной схемы системы (рис.4.1) и уравнения (4.3) изобразим структурную схему системы (рис.4.2).

Рис. 4.2. Структурная схема системы управления

W (s) - передаточная функция регулятора;

W(s) -o

воздействию; Wf(s) -

передаточная функция объекта управления по управляющему

передаточная функция объекта управления по возмущающему

воздействию;

G(s), F(s), U(s), X(s), Y(s) - изображения по Лапласу задающего, возмущающего и управляющего воздействий, рассогласования и управляемой величины.

Если в системе ликвидировать обратную связь, то система из замкнутой превратится в разомкнутую. Звенья, расположенные между выходом сравнивающего устройства и его инверсным входом, образуют разомкнутую систему, передаточная функция которой имеет вид:

W(s) = W(s) • Wu(s).(4.6)

Передаточная функция разомкнутой системы W(s) имеет большое значение в классической теории управления, так как методы анализа и синтеза систем основаны на ее использовании.

Найдем передаточные функции замкнутой системы.

Рис. 4.3. Приведенная структурная схема системы управления

Y(s) X(s) По определению Ф (s) =-; Ф (s) =-, тогда из рис.4.3 следует:

g G(s) xg

Ф (s) =--; Ф

g1+W(s)xg

1+W(s)1+W(s)

2. По возмущающему воздействию при g(t)=0. В этом случае исходная структурная схема системы (рис.4.2) может быть приведена к виду, изображенному на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Приведенная структурная схема

Y(s)X(s)

По определению Ф (s) =-; Ф (s) =-

f F(s) xf F(s)

тогда из рис.4.4 следует:

Ф xf(s)

. (4.8)

1 + W(s) xf 1 + W(s) Таким образом, передаточные функции замкнутой системы определяются передаточной функцией разомкнутой системы.

Важные соотношения, вытекающие из вышеприведенного:

1. D(p) = 1 + W(s)

Ф (s) = 1- Ф

(s) = 1 -

1 + W(s) 1 + W(s)

1. По задающему воздействию при f(t)=0. В этом случае исходная структурная схема системы (рис.4.2) может быть приведена к виду, изображенному на рис. 4.3.

3. w(s)

1 - Ф (s)

4. w(s)

Пример. Определить передаточные функции системы, структурная схема которой имеет вид, представленный на рис. 4.5.

u3 iu

wy (s) Wjs) -» wp(g) w3 (s) wn(s)

Рис. 4.5. Структурная схема системы управления

Решение: Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:

w(s) = w (s)• w (s)• w (s)• w (s)• w (s)• w (s), у дв р з п т

тогда передаточные функции замкнутой системы будут:

w (s)--

зу w (s)

фg(s)=т

1 + w(s)

1 + w(s)

4.2. Многомерные системы управления

Многомерные или многосвязные системы - это системы, имеющие несколько управляемых величин, а также несколько задающих и возмущающих воздействий. Многомерная система предполагает наличие многомерного объекта управления (рис.4.6), который характеризуется существованием нескольких входов (точек приложения управляющих и возмущающих воздействий) и нескольких выходов, определяемых управляемыми величинами.

Рис.4.6. Многомерный объект управления

"П1"

ОУЬ--г>у

Рис. 4.7. Функциональная схема многомерной системы Структурная схема изображена на рис.4.8.

>jWf(s)

Рис. 4.8. Структурная схема многомерной системы

Здесь WR(s), W0(s), Wf(s) - матрицы передаточных функций регулятора и объекта управления системы.

Матричное дифференциальное уравнение линейной многомерной системы, разрешенное относительно управляемой величины имеет вид:

D(p)Y(t) = R(p)G(t) - N(p)F(t),(4.9)

Многомерный объект описывается системой уравнений, которую удобно представлять в матричной форме. В этом случае координатами системы управления являются вектор задающего воздействия G(t), вектор управляемой величины Y(t), вектор управления U(t) и вектор возмущения F(t). При этом

G(t) = [ g1(t), g2(t), ... , gm(t) ]T;

Y(t) = [ y1(t), y2(t), ... , yr(t) ]T;

U(t) = [ u1(t), U2(t), ... , uk(t) ]T;

F(t) = [ f1(t), f2(t), ... , f(t) ]T.

Функциональная схема многомерной системы имеет вид, приведенный на рис.4.7.

a11 a12 a21 a22

r1 r211 jr x r

квадратная матрица коэффициентов системы (размерность rxr, где управляемых величин), характеризующая свободное поведение системы;

b12 b22

bb1m 2m

прямоугольная матрица коэффициентов системы (размерность rxm, где m - число задающих воздействий), связывающая задающее воздействие с управляемой величиной;

c ... c 121/

c ... c

22 2/

прямоугольная матрица коэффициентов системы (размерность rx /, где / - число возмущающих воздействий), связывающая возмущающее воздействие с управляемой величиной.

Подвергнув уравнение (4.9) преобразованию по Лапласу, получим матричное операторное уравнение, решение которого определяет изображение управляемой величины

Y(s) =- Фf(s)F(s),

Ф11( Ф12(S) "Ф1m(s)"

Ф 21(s) Ф 22(s) -Ф 2m(s) -

*r1(s) Фr2(s) -Фrm(s) j

матрица передаточных функций замкнутой системы;

Ф f11(s) Ф f12(s) ... Ф f1/ (s)

Ф f(s):

1Ф 21(s) Ф 22(s)

Ф1ф Фfr2(s) ... Фf

возмущающему

матрица передаточных функций замкнутой системы по воздействию.

Здесь Фу) - передаточная функция замкнутой системы, связывающая i-ый выход с j-тым входом системы.

Аналогичным образом составляется матричное дифференциаль-ное уравнение, разрешенное относительно ошибки, и определяется изображение рассогласования.

ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ 4

1.Как получить математическое описание замкнутой системы управления?

2.Напишите в общем виде исходные дифференциальные уравнения замкнутой системы управления.

3.Что такое характеристический полином системы?

4.Перечислите передаточные функции замкнутой системы.

5.Что представляет собой передаточная функция разомкнутой системы?

6.Выразите передаточные функции замкнутой системы через передаточную функцию разомкнутой системы.

7.Каким образом по передаточной функции разомкнутой системы можно определить ее характеристический полином?

8.Дайте определение многомерной системы управления и многомерного объекта управления.