Функция Ляпунова и ее производная по времени. Любая функция

V = V(xb x2, xn ),

тождественно обращающаяся в нуль при x1 = x2 = ... = xn = 0, называется функцией Ляпунова, если в ней в качестве x1, x2, ... , xn взяты переменные, в которых записаны уравнения (2.1) для этой системы.

Производная от функции Ляпунова (2.3) по времени будет

dV = X ddVx

dt .X dx. dt

i = 1 i

Подставив значения i (i = 1, 2, ... , n) из уравнений системы (2.1), получим

dt = X dx Fi(x1,x2,...,xn). i=1 i

Следовательно, производная от функции Ляпунова по времени, так же как и сама V, является функцией координат системы

= W(x1,x2,...,xn),

причем согласно свойству (2.2) эта функция W, так же как и сама V, тождественно обращается в нуль при x1 = x2 = ... = xn = 0. Поэтому к ней в одинаковой степени можно применять те же понятия знакоопределенности, знакопо-стоянства и знакопеременности в некоторой области вокруг начала координат.

Теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем [2]: если при заданных в форме (2.1) уравнениях системы n-го порядка можно подобрать такую знакоопределенную функцию Ляпунова V(x1, x2, ... , xn ), чтобы ее производная по времени W(x1, x2, ... , xn ), тоже была знакоопределенной (или знакопостоянной), но имела знак, противоположный знаку V, то данная система устойчива; при знакоопределенной функции W будет иметь место асимптотическая устойчивость.

Теорема Ляпунова о неустойчивости нелинейных систем [2]: если при заданных в форме (2.1) уравнениях системы n-го порядка производная по времени W(x1, x2, ... , xn) от какой-нибудь функции Ляпунова V(x1, x2, ... , xn) окажется знакоопределенной, причем сама функция V в какой-нибудь области, примыкающей к началу координат, будет иметь знак, одинаковый со знаком производной W, то данная система неустойчива.

Замечания к теореме Ляпунова об устойчивости.

1.При заданных в форме (2.1) уравнениях системы выбор функции V неоднозначен, поэтому данная теорема Ляпунова обеспечивает получение достаточных условий устойчивости, которые не всегда будут и необходимыми, т. е. при выполнении условий теоремы система наверняка будет устойчивой, но эти условия могут не охватывать всей области устойчивости системы по параметрам.

2.Понятие устойчивости по Ляпунову допускает, что при знакоопреде-ленной функции V производная от нее по времени W была не обязательно знакоопределенной или знакопостоянной, а могла быть и тождественно равна нулю. В результате система хотя и не будет асимптотически приближаться к установившемуся состоянию, но все же будет все время в достаточной близости от него.

Нелинейная система (рис. 2.1) с одним нелинейным элементом с однозначной статической характеристикой

Ун = F(a)

в свободном состоянии может быть представлена в виде замкнутого контура, включающего в себя линейную часть (ЛЧ) и нелинейный элемент (НЭ) (рис.

Рис. 2.5. Функциональная схема нелинейной системы в свободном состоянии

При этом уравнения свободного движения системы (g = 0) будут

Г dx. n

-- = X ax + by при i = 1,2,...,n; J = 1

У = F(a),

где a = X cx ;

aij, bi, ck - постоянные коэффициенты. Тогда задача исследования нелинейной системы (2.7) по Ляпунову сводится к определению функции V и ее производной

W X-[ X ax. + ЪЛ<т)].

i=1d xi . , 11 j i

А.И.Лурье предложил функцию Ляпунова выбирать в виде суммы функции квадратичной формы L(x) и интеграла от нелинейной функции F(a) рассматриваемой системы

V=L(x)+ J F(cr)dcr,

где L(x) X«ixi

Нелинейная система называется абсолютно устойчивой, если она устойчива при любых начальных отклонениях и любой форме нелинейной характеристики, удовлетворяющей условиям:

0< F() < k; F(0) 0, а

где k - заданное число.

Пример. Исследовать устойчивость системы, заданной уравнениями:

-"Г" -(x1 - в x2)(1 - ax2- bx2); dt

- -(x2 + a x1)(1 - ax1 - bx2),

где a, p, а, b - положительные постоянные числа.

Р е ш е н и е. Выбираем положительно-определенную функцию Ляпунова

V = ax12 + px22 .

Находим производную от функции Ляпунова по времени

W - 2ax-- + 2Px -2

= -2ax1 (x1 - px2 )(1 - ax12 - bx22) -2px2 (x2 + ax1 )(1 - ax12 - bx22) = = -2(1 - ax12 - bx22)( ax12 + px22) . Тогда W < 0 при (1 - ax12 - bx22 ) > 0 или ax1 2 + bx22 < 1.

Это достаточное условие устойчивости исследуемой нелинейной системы. Границей устойчивости системы на плоскости ее координат (рис. 2.6) является эллипс

ax12 + bx22 = 1.

Рис. 2.6. Область устойчивости нелинейной системы 2.3. Частотный метод В.М. Попова

Частотный метод В.М. Попова решает задачу об абсолютной устойчивости системы с одной однозначной нелинейностью, заданной предельным значением коэффициента передачи k нелинейного элемента.

Если в системе управления (рис. 2.5) имеется лишь одна однозначная нелинейность

Ун = F(x),(2.11)

то, объединив вместе все остальные звенья системы в линейную часть, можно получить ее передаточную функцию Wm(s).

Нелинейность ун = F(x) имеет любое очертание, не выходящее за пределы заданного угла arctg k (рис. 2.7), т.е. при любом x

0 < F(x) < kx.

Ун F(x)

arctg k

Рис. 2.7. Нелинейность системы: а) нелинейный элемент; б) статические характеристики

Теорема В.М. Попова [2]: для установления абсолютной устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такое конечное действительное число q, при котором для всех частот со > 0

Re[(1+jcoqCia)] + - > 0,

где k - предельное значение коэффициента передачи нелинейного элемента;

Wji4(jco) - амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части системы.

Все полюсы передаточной функции линейной части системы должны быть с отрицательными вещественными частями или же кроме них имеется еще не более двух нулевых. При наличии одного нулевого полюса требуется еще, чтобы

Im Wjpjco) -да при со 0,

а при двух нулевых полюсах

Re Wjpco) - -да при со - 0, а Im Wj4(jra) < 0 при малых со.

Другая формулировка той же теоремы, дающая удобную графическую интерпретацию, связана с введением видоизмененной частотной характеристики линейной части системы W*(jco), которая определяется следующим образом:

U*(jc) = Re W*(jc) = Re Wm(jc), V*(jc) = Im W*(jc) = cT0Im Wm(jc),

где T0 = 1 с - нормирующий множитель.

Преобразовав левую часть неравенства (2.13)

Re[(1+Jraq)Wj4(j«)] + - = Re Wjj(j«) - coq Im WjjiJo)] + -

и использовав соотношения (2.14), получим вместо (2.13) для теоремы В.М. Попова условие

U*(co) - - V*(co) + 1 > 0 Tk

при всех со > 0.

Очевидно, что равенство

и*(со) - - V*(oo) + 1 = 0

представляет собой уравнение прямой на плоскости W*(ja>). Эта прямая, называемая прямой Попова, проходит через точку с координатами [-1/k, J0] и имеет угловой коэффициент наклона к оси абсцисс 1/q.

Отсюда вытекает графическая интерпретация теоремы В.М.Попова [2]: для установления абсолютной устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такую прямую на комплексной плоскости W*(ja>), проходящую

1 .* .

через точку (--, J0), чтобы вся кривая W (jo) лежала справа от этой прямой.

Условия выполнения теоремы. показаны на рис. 2.8.

прямая Попова

W* (jffl)

W (jo))

Рис. 2.8. Графическая интерпретация теоремы В.М. Попова: а - абсолютно устойчивая система; б - система не имеет абсолютной устойчивости

На рис. 2.8,а приведен случай абсолютной устойчивости нелинейной системы при любой форме однозначной нелинейности, ограниченной лишь условием (2.12), а рис. 2.8,б соответствует случаю невыполнения теоремы, т.е. нелинейная система не имеет абсолютной устойчивости.

Таким образом, для определения абсолютной устойчивости нелинейной системы по методу В.М. Попова необходимо построить видоизмененную частотную характеристику линейной части системы W (ja>), определить предельное значение коэффициента передачи k нелинейного элемента из усло-

F(x) 1 вия 0 <-< k и через точку (--) на вещественной оси комплексной плос-

кости провести некоторую прямую так, чтобы характеристика W (ja>) лежала справа от этой прямой. Если такую прямую провести нельзя, то это значит, что абсолютная устойчивость для данной системы невозможна. Величина q, связанная с угловым коэффициентом, при этом определяется из условия (2.15) так, чтобы при известных параметрах системы неравенство соблюда-