Если нелинейный элемент обладает релейной характеристикой, то фазовые траектории в зонах насыщения и нечувствительности определяются такими же уравнениями, как и в случае единичной обратной связи. Однако наличие члена То( в передаточной функции звена обратной связи обуславливает поворот линий переключения реле влево соответственно уравнениям (2.63); при этом угол наклона а определяется по формуле (2.64). На рис. 2.21,б показана фазовая траектория и линии переключения для нелинейной системы с трехпозиционным реле с зоной нечувствительности (рис. 2.4,б) при начальных условиях (x0, 0). Поворот линий переключения реле навстречу движению изображающей точки фазовой траектории обеспечивает работу системы с упреждением. Путем подбора постоянной времени Тос можно обеспечить перевод релейной системы в новое состояние за одно включение реле, как показано на рис. 2.4,б, при угле наклона линий переключения, равном а.

В том случае, когда система имеет неединичную жесткую главную обратную связь вида

Wос(s) = 1 + с,(2.65)

имеет место

a = -(1 + kx.(2.66)

Граничные линии и линии переключения для такой главной обратной связи определяются уравнениями:

kx+ x b или x :

kx+ x - b или x --

oc1 + k

Отсюда следует, что неединичная жесткая главная обратная связь вызывает перемещение граничных линий и линий переключения без изменения угла их наклона, что позволяет изменять соотношения между областями с различными фазовыми траекториями на фазовой плоскости, например, изменять область нечувствительности системы при неизменности зоны нечувствительности реле или усилителя.

Компенсация влияния нелинейности. При компенсации нелинейностей нелинейную систему можно рассматривать как линейную относительно определенных входных воздействий.

Компенсирующие нелинейности. Линеаризация заданной нелинейности F(a) заключается во включении последовательно или параллельно компенсирующего нелинейного элемента с обратной нелинейной характеристикой F-1(a). При этом получаем эквивалентный линейный элемент. На рис. 2.22 при-

веден пример линеаризации усилителя с зоной нечувствительности путем включения параллельно с ним усилителя с насыщением.

Рис. 2.22. Пример включения компенсирующей нелинейности

Если нелинейность F(a) присутствует в объекте управления ОУ, то линеаризация системы может быть осуществлена путем параллельного включения объекту управления компенсирующей нелинейности F-1(a) и модели его линейной части Wjj лч (s) (рис. 2.23).

Рис. 2.23. Структурная схема нелинейной системы

Вибрационная компенсация нелинейностей заключается в том, что нелинейный элемент приобретает свойства пропорциональности, если на его вход вместе с полезным медленно изменяющимся сигналом g(t) подается высокочастотная периодическая составляющая u(t) (рис. 2.24).

Если на входе нелинейного элемента (рис. 2.24,а,б) с характеристикой F(x) действует полезный медленно изменяющийся сигнал g(t) совместно с несмещенным периодическим сигналом u(t), частота a которого достаточно велика, чтобы можно было приближенно считать функцию g(t) постоянной в пределах периода Т = 2п/га (рис. 2.24,б), т.е.

x(t) = g(t) + u(t),(2.68)

то выходной сигнал можно представить в виде суммы средней, медленно изменяющейся составляющей F1(g) и колебательной функции F2(u), близкой к периодической с частотой a

ун = F(x) = F[g(t) + u(t)] = F1(g) + F2(u).

Среднюю составляющую приближенно можно представить как среднее значение выходного сигнала нелинейного элемента за период

F1fe(t)]

j F[g(t) + u(t)]dt.

В случае g = wrist формула (2.70) точная и определяет постоянный член ряда Фурье, составленного относительно выходного сигнала нелинейного элемента, а колебательная функция F2(u) есть сумма гармонических составляющих этого ряда.

Рис. 2.24. Вибрационная компенсация нелинейности: а - структурная схема разомкнутой системы; б - временные диаграммы

изменения сигналов; в - статическая характеристика Формула (2.70) тем точнее, чем больше частота со и чем меньше g(t) изменяется в пределах периода T. На рис. 2.24,в представлена характеристика F1(g) для идеального двухпозиционного реле при компенсирующей периодической функции u(t) треугольного вида частоты со и амплитуды A. Статическая характеристика является линейной для полезного сигнала g(t), изменяющегося в пределах ±A. Коэффициент передачи линейной части определяется как

Таким образом, чем больше амплитуда компенсирующих колебаний A, тем шире зона линейности нелинейного элемента. Однако при этом уменьшается коэффициент передачи линеаризованного элемента.

Статическая характеристика F1(g) может быть получена экспериментальным путем, что позволяет определить значения Ц, и A.

Выходной сигнал нелинейного элемента ун (2.69) поступает на вход линейной части системы. При достаточно большой частоте со периодического сигнала u(t) линейная часть из-за инерционности не пропускает компенсирующие колебания, поэтому составляющей F2(u) можно пренебречь. Следовательно, для разомкнутой системы (рис. 2.24,а) можно определить передаточную функцию

W(s) = kу \WUs).

Это значит, что при задающем воздействии g(t) < A (рис. 2.24,в) для частоты со компенсирующих колебаний u(t), превышающих частоту среза линейной части системы, нелинейная система может рассматриваться как линейная.

Для формирования высокочастотного сигнала u(t) используется или специальный генератор или собственные колебания системы.

2.7. Скользящие режимы в релейных системах

Скользящим режимом называется режим работы релейной системы, характеризующийся колебательным движением изображающей точки вдоль линии переключения. Чем сильнее воздействие производной в цепи обратной связи, тем больше поворачиваются линии переключения реле против часовой стрелки. При этом интенсивность затухания переходного процесса возрастает. В том случае, когда в точке переключения угол наклона линии переключения становится равным наклону или меньше угла наклона касательной к фазовой траектории, по которой движется изображающая точка после переключения реле, возникают условия существования скользящего режима [10].

Рассмотрим возникновение скользящего режима в нелинейной системе, изображенной на рис. 2.20,а, с идеальным реле при отсутствии внешнего воздействия и при заданных начальных условиях x0 Ф 0 и у0 = 0.

Пусть начальное состояние системы задано точкой (x0, 0) (рис. 2.25), от которой изображающая точка перемещается по фазовой траектории типа 1 до встречи с линией переключения AB в точке C. В этой точке происходит пе-

реключение реле и изображающая точка будет перемещаться по фазовой траектории типа 2 до точки D. В точке D происходит переключение реле в другую сторону, после чего изображающая точка будет перемещаться по фазовой траектории типа 1. Но как только увеличится результирующий сигнал обратной связи, произойдет переключение реле и изображающая точка будет перемещаться по фазовой траектории типа 2 и так далее, т.е. изображающая точка, подойдя к этому отрезку линии переключения - отрезку скольжения, не сможет уйти с него.

Таким образом, изображающая точка, достигнув точки D, непрерывно переходит с траектории типа 1 на траекторию типа 2 и обратно, как бы скользя вдоль линии переключения и асимптотически приближаясь к точке равновесия 0.

Как видно из рис. 2.25, скользящий режим возможен на тех участках, где фазовая траектория типа 2 проходит ниже линии переключения AB (после точки D). При начальном положении изображающей точки (x02, 0) после ее прихода по траектории типа 1 в точку на линии переключения D сразу начинается скользящий режим. При начальном положении изображающей точки (x03, 0) скользящий режим имеет место после переключения реле, когда изображающая точка скользит по линии переключения AB в четвертом квадранте. В последнем случае переходный процесс имеет перерегулирование.

Рис. 2.25. Фазовые траектории релейной системы

В рассматриваемом примере предполагается, что переключение реле происходит мгновенно, в результате частота переключений бесконечно велика, а амплитуда колебаний бесконечно мала. Такой скользящий режим называется предельным. Если учесть неоднозначность характеристики или зону нечувст-

вительности, то переключение реле при скользящем режиме происходит с конечной частотой, а амплитуда колебаний отличается от нуля.

В предельном скользящем режиме релейный элемент можно заменить эквивалентным линейным безынерционным звеном с коэффициентом передачи, стремящимся к бесконечности (kp-co). Тогда эквивалентная передаточная функция системы, соответствующая структурной схеме, приведенной на рис. 2.20,а, будет

k W (s)

p лч

Ф (s)

да 1 + k W (s)W (s) Woc(s)

p лчoc

Следовательно, для предельного скользящего режима релейную систему можно представить эквивалентной структурной схемой в виде интегрирующего звена, охваченного обратной связью, или просто в виде апериодического звена первого порядка.

При начальном положении системы x01 (точка M0 на рис. 2.25) после переключения реле в точке M1 изображающая точка по фазовой траектории типа 2 приходит в начало координат, характеризующее состояние покоя. При этом переходный процесс будет иметь минимальное время, а режим работы системы будет оптимальным по быстродействию. При заданной постоянной времени корректирующей цепи обратной связи Toc такой режим будет существовать только для определенной группы начальных значений, когда изображающая точка в начальный момент времени оказывается на траектории M0 M1 0 M M , проходящей через начало координат; во всех других 1 o

случаях будет иметь место скользящий режим либо сразу после переключения реле, либо после нескольких переключений.

Для того чтобы процесс при любых начальных условиях был оптимальным по быстродействию, линией переключения должна быть сама фазовая траектория, проходящая через начало координат. Такая кривая линия переключения свидетельствует о нелинейном характере воздействия корректирующей обратной связи. Линия переключения не относится к фазовым траекториям. Но можно сделать так, что она будет совпадать с одной из фазовых траекторий. Тогда процесс в системе будет состоять из двух частей: подход к линии переключения по одной из траекторий, выбор которой зависит от начальных условий, и движение по линии переключения к положению равновесия.

Наглядное представление о совокупности оптимальных процессов при различных начальных условиях дает фазовый портрет, приведенный на рис. 2.26.